专题2.13 导数-零点问题（原卷版）

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专题 2.13 导数-零点问题
求解有关函数零点问题的常用方法与策略：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基
本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，
体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法
为从 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设
条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
（3）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通
常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否
符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围．
（4）构造新函数法（数形结合）：将问题转化为研究两函数图象的交点问题，先对解析式
变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合
的方法求解．
1．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，求证： 在 上有唯一零点．
2．已知函数 ．
（1）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
1
（2）求函数 的极值；
（3）设 ，判断函数 的零点个数，并说明理由．
3．已知函数 ．
（1）当 时，求 在 处的切线方程；
（2）若函数 在 上有两个零点，求实数 的取值范围．
4．已知函数 ．
（1）若 ，求 的取值范围；
（2）若 有两个零点 ， ，且 ，证明： ．
5．已知函数 ．
（1）当 时，试判断函数 的单调性；
（2）若 ，且当 时， 恒成立． 有且只有一个实数解，
证明： ．
2
6．已知函数 ， ．
（1）若 在 上为单调递减函数，求 的取值范围；
（2） 设 函 数 有 两 个 不 等 的 零 点 ， 且 ， 若 不 等 式
恒成立，求正实数 的取值范围．
7．已知函数 ，其中 ．
（1）若函数 有 2个极值点，求实数 的取值范围；
（2）若关于 的方程 仅有 1个实数根，求实数 的取值范围．
8．已知 ，（n为正整数， ）
（1）若 在 处的切线垂直于直线 ，求实数 m的值；
（2）当 时，设函数 ， ，证明： 仅有 1个零点．
（3）当 时，证明： ．
9．已知函数 ．
3
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