专题2.13 导数-零点问题（解析版）

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专题 2.13 导数-零点问题
求解有关函数零点问题的常用方法与策略：
（1）直接法：先对函数求导，根据导数的方法求出函数的单调区间与极值，根据函数的基
本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与 轴的交点问题，突出导数的工具作用，
体现了转化与化归思想、数形结合思想和分类讨论思想的应用；
（2）分类参数法：一般命题情境为给出区间，求满足函数零点个数的参数范围，通常解法
为从 中分离参数，然后利用求导的方法求出由参数构造的新函数的最值，根据题设
条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数的取值范围；
（3）分类讨论法：一般命题情境为没有固定的区间，求满足函数零点个数的参数范围，通
常解法为结合函数的单调性，先确定参数分类标准，在每个小范围内研究零点的个数是否
符合题意，将满足题意的参数的各个小范围并在一起，即可为所求参数的范围．
（4）构造新函数法（数形结合）：将问题转化为研究两函数图象的交点问题，先对解析式
变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合
的方法求解．
1．已知函数 ．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
（2）设 ，求证： 在 上有唯一零点．
【试题来源】陕西省西安市八校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考
【答案】（1） ；（2）证明见解析．
【分析】（1）求得导数 ，得到 和 ，进而求得曲线
1
在点 处的切线方程；（2）由求得 ，利用导
数的符号，求得函数 的单调性，结合 ，和 时， ，即可
求解．
【解析】（1）由题意，函数 ，可得 ，则
，
又由 ，所以曲线 在点 处的切线方程为 ；
（2）由 ，可得 ，
令 ，可得 ，即 ，解得 ，
所以当 时， ，当 时， ，
则 在 上单调递减，在 上单调递增，
所以 在 上单调递增，
因为 ，当 时， ，
所以 在 上有唯一零点．
【名师点睛】导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中
重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，
往往与解析几何、微积分相联系．（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单
调性，求参数．（3）利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题．（4）考查
2
数形结合思想的应用．
2．已知函数 ．
（1）求曲线 的斜率等于 的切线方程；
（2）求函数 的极值；
（3）设 ，判断函数 的零点个数，并说明理由．
【试题来源】北京市延庆区 2021 届高三模拟考试
【答案】（1） ；（2）极小值 ，无极大值；（3）函数 有三个零点；
理由见解析．
【分析】（1）根据导数的几何意义可求得结果；（2）根据极值的定义，利用导数可求得
结果；
（3） ，利用导数得到 的单调性，结合零点存在性定理可得
有2个零点，而函数 在 上有唯一零点，且 3个零点互不相等，所以
有3个零点．
【解析】（1）设切点为 ，因为 ，
所以 ， ， ，
所以切线方程 为 ，即 ．
（2） 的定义域为 ．令 即 ， ，
令 ，得 ，令 ，得 ，
3
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