专题2.12 导数-极值、最值问题（原卷版）

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专题 2.12 导数-极值、最值问题
1．可导函数 y＝f(x)在点 x0处取得极值的充要条件是 ，且在 x0左侧与右侧
的符号不同．若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即
在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2．利用导数求解函数最值的思路
（1）若所给的闭区间 不含参数，则只需对 求导，并求 在区间
内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与 比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（2）若所给的区间 含有参数，则需对 求导，通过对参数分类讨论，判断函
数的单调性，从而得到函数 的最值．
3．用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
（2）不能随意将函数的 2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解
题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
4．对于极值点偏移问题，处理类似于 （ 为 的两根）的问题的基
本步骤如下：
（1）求导确定 的单调性，得到 的范围；
（2）构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
（3）得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
1
（4）根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关
系，由此证得结论．
1．已知函数 (为实数)．
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
2．已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）讨论 的单调性．
3．已知函数 ．
（1）求证：当 时，函数 存在唯一的极小值点；
（2）若函数 的图象相切，求实数 的值．
4．已知函数 (e是自然对数的底数)．
（1）求曲线 在点 处的切线方程；
2
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