专题2.12 导数-极值、最值问题（解析版）

3.0 envi 2025-02-12 18 4 1.52MB 35 页 3知币
侵权投诉
专题 2.12 导数-极值、最值问题
1．可导函数 y＝f(x)在点 x0处取得极值的充要条件是 ，且在 x0左侧与右侧
的符号不同．若 f(x)在(a，b)内有极值，那么 f(x)在(a，b)内绝不是单调函数，即
在某区间上单调增或减的函数没有极值．
2．利用导数求解函数最值的思路
（1）若所给的闭区间 不含参数，则只需对 求导，并求 在区间
内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与 比较，
其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值；
（2）若所给的区间 含有参数，则需对 求导，通过对参数分类讨论，判断函
数的单调性，从而得到函数 的最值．
3．用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面：
（1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域；
（2）不能随意将函数的 2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式；
（3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解
题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用．
4．对于极值点偏移问题，处理类似于 （ 为 的两根）的问题的基
本步骤如下：
（1）求导确定 的单调性，得到 的范围；
（2）构造函数 ，求导后可得 恒正或恒负；
（3）得到 与 的大小关系后，将 置换为 ；
1
（4）根据 与 所处的范围，结合 的单调性，可得到 与 的大小关
系，由此证得结论．
1．已知函数 (为实数)．
（1）若 ，求 的最小值；
（2）若 恒成立，求 的取值范围．
【试题来源】学科网 2020 年高三 11 月大联考（新课标Ⅰ卷）
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）利用导数直接求出函数的单调区间，即可求出 的最小值；（2）若
恒成立，则 ，即 恒成立，令 ，利用导
数研究函数单调性，进而得最值，可得实数 a取值的范围即可．
【解析】（1）当 时， ， ．
由 得 ，由 得 ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
则函数 的最小值为 ．
（2）由题得 ，若 恒成立，则 ，即 恒成立．
令 ，则 ，
当 时， ；当 时， ，
所以 在 上单调递减，在 上单调递增，
2
则 ，所以 ，
故 的取值范围为 ．
2．已知函数 ．
（1）当 时，求 的极值；
（2）讨论 的单调性．
【试题来源】全国百强名校“领军考试”2020-2021 学年高三下学期 4月
【答案】（1）极大值为 ，极小值为 ；（2）答案见解析．
【分析】（1）求导，分析导函数的正负，得出原函数的单调性，从而求得其极值．（2）
求导， ，定义域为 ，分 的符号和与 1的大小进行
分类讨论得出单调性．
【解析】（1）函数 的定义域为 ；
当 时， ，
则 ．
由 且 ，解得 或 ；
由 且 ，解得 ；
3
专题2.12 导数-极值、最值问题（解析版）.docx

共35页,预览5页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：35 页 大小：1.52MB 格式：DOCX 时间：2025-02-12

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 35
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注