专题2.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题（原卷版）

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专题 2.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题

1．定点问题解决步骤：

（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；

（2）根与系数关系列出两根和及两根积；

（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；

（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件．

2．定值、取值范围（最值）问题的基本思路：

（1）假设直线方程，与圆锥曲线方程联立，整理为关于或的一元二次方程的形式；

（2）利用求得变量的取值范围，得到根与系数关系的形式；

（3）利用根与系数关系表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；

（4）化简所得函数式，消元可得定值或利用函数值域的求解方法求得取值范围（最

值）．

1．设椭圆的左、右焦点分别为、，为椭圆

上的点，且，．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）设过椭圆右焦点且斜率为的动直线与椭圆相交于、两点，探究在轴

上是否存在定点，使得为定值？若存在，试求出定值和点的坐标；若不存在，

请说明理由．

2．设常数．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F(2，0)，直线 l：x=t，曲线：

，与 x轴交于点 A、与交于点 B．P、Q分别是曲线与线段

AB 上的动点．

（1）用 t表示点 B到点 F距离；

（2）设，，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求的面积；

（3）设 t=8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E在上？若存在，求点

P的坐标；若不存在，说明理由．

3．已知椭圆 C：＋y2＝1的右焦点为 F，过点 F的直线(不与 x轴重合)与椭圆 C相交于

A，B两点，直线 l：x＝2与x轴相交于点 H，过点 A作AD⊥l，垂足为 D．

（1）求四边形 OAHB(O为坐标原点)的面积的取值范围．

（2）证明：直线 BD 过定点 E，并求出点 E的坐标．

4．已知抛物线的焦点恰好是椭圆的一个焦点，点在椭圆上，且

的最大值为．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若过抛物线上的一点能作椭圆的两条互相垂直的切线，求此时的值．

5．已知圆，点，P是圆 E上一点，线段 PF 的垂直平分线

与直线 EP 相交于点 Q．

（1）若 m=2，点 P在圆 E上运动时，点 Q的轨迹是什么？说明理由；

（2）若 m=1，点 P在圆 E上运动时，点 Q的轨迹记为曲线 C．过 E点作两条互相垂直的直

线，与曲线 C交于两点 A、B，与曲线 C交于两点 C、D，M为线段 AB 的中点，

N为线段 CD 的中点．试问，直线 MN 是否过定点？若过定点，并求出该定点的坐标，若

不过定点，请说明理由．

6．在直角坐标系中，曲线的点均在外，且对上任意一点

，到直线的距离等于该点与圆上点的距离的最小值．

（1）求曲线的方程；

（2）设为圆外一点，过作圆的两条切线，分别与曲线相

交于点、和、．证明：当在直线上运动时，四点、、、的纵

坐标之积为定值．

7．已知等轴双曲线的顶点，分别是椭圆的左、右焦点，且

是椭圆与双曲线某个交点的横坐标．

（1）求椭圆的方程；

（2）设直线与椭圆相交于，两点，以线段为直径的圆过椭圆的上顶点，

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