专题2.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题（解析版）

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专题 2.11 圆锥曲线-定点、定值、定直线问题
1．定点问题解决步骤：
（1）设直线代入二次曲线方程，整理成一元二次方程；
（2）根与系数关系列出两根和及两根积；
（3）写出定点满足的关系，整体代入两根和及两根积；
（4）整理（3）所得表达式探求其恒成立的条件．
2．定值、取值范围（最值）问题的基本思路：
（1）假设直线方程，与圆锥曲线方程联立，整理为关于 或 的一元二次方程的形式；
（2）利用 求得变量的取值范围，得到根与系数关系的形式；
（3）利用根与系数关系表示出所求量，将所求量转化为关于变量的函数的形式；
（4）化简所得函数式，消元可得定值或利用函数值域的求解方法求得取值范围（最
值）．
1．设椭圆 的左、右焦点分别为 、 ， 为椭圆
上的点，且 ， ．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设过椭圆 右焦点且斜率为 的动直线与椭圆 相交于 、 两点，探究在 轴
上是否存在定点 ，使得 为定值？若存在，试求出定值和点 的坐标；若不存在，
请说明理由．
【试题来源】2021 年新高考数学二轮复习讲义 分层训练
1
【答案】（1） ；（2）存在，定值为－ ，定点为 ．
【分析】（1）利用余弦定理结合三角形的面积公式可求得 的值，求出
的值，由 、 、 三者的关系可求得 的值，进而可得出椭圆 的标准方程；
（2）设点 、 ，设直线 的方程为 ，将直线 的方程
与椭圆 的方程联立，列出根与系数关系，设点 ，利用平面向量数量积的坐标运
算可得出 关于 、 的表达式，根据已知条件求出 的值，由此可得出结论．
【解析】（1）在 中， ，可得 ，
由余弦定理 ，
， ，可得 ，
又 ， ，则 ，
因此，椭圆 的标准方程为 ；
（2）设点 、 ，设直线 的方程为 ，
联立 ，消去 可得 ，
，
由根与系数关系可得 ， ，
2
假设 轴上存在定点 ，使得 为定值．
为定值，
所以， ，解得 ，此时， ．
因此，在 轴存在定点 ，使得 为定值 ．
【名师点睛】求定值问题常见的方法有两种：
（1）从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关；
（2）直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值．
2．设常数 ．在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 F(2，0)，直线 l：x=t，曲线 ：
， 与 x轴交于点 A、与 交于点 B．P、Q分别是曲线 与线段
AB 上的动点．
（1）用 t表示点 B到点 F距离；
（2）设 ， ，线段 OQ 的中点在直线 FP 上，求 的面积；
（3）设 t=8，是否存在以 FP、FQ 为邻边的矩形 FPEQ，使得点 E在 上？若存在，求点
P的坐标；若不存在，说明理由．
【试题来源】2021 年高三数学二轮复习讲练测（ 文理通用）
【答案】（1） ；（2） ；（3）存在， ．
3
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