专题2.10 圆锥曲线-抛物线（原卷版）

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专题 2.10 圆锥曲线-抛物线
1．求轨迹方程的常用方法
（1）直接法：根据题目条件，直译为关于动点的几何关系，再利用解析几何有关公式
(两点距离公式、点到直线距离公式、夹角公式等)进行整理、化简，即把这种关系“翻
译”成含 x，y的等式就得到曲线的轨迹方程了．
（2）定义法：若动点轨迹满足已知曲线的定义，可先设定方程，再确定其中的基本量 ，
求出动点的轨迹方程．
（3）相关点法：有些问题中，其动点满足的条件不便用等式列出，但动点是随着另一
动点(称之为相关点)而运动的，如果相关点所满足的条件是明显的，或是可分析的，这
时我们可以用动点坐标表示相关点坐标，根据相关点所满足的方程即可求得动点的轨迹
方程．
2．解决直线与曲线的弦长时，往往设直线与曲线的交点坐标为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，
则 (k为直线
斜率)．
3．有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，
可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式．
1．在平面直角坐标系 中，已知点 ， 是一动点，直线 ， ， 的斜
率分别为 ， ， ，且 ，记 点的轨迹为 ．
（1）求曲线 的方程；
（2）已知直线 ： ， 与曲线 交于 ， 两点，直线 与 轴， 轴分别交
1
于 ， 两点，直线 与 轴， 轴分别交于 ， 两点．当四边形 的面积
最小时，求直线 的方程．
2．已知点 P到直线 y＝－3的距离比点 P到点 A(0，1)的距离多 2．
（1）求点 P的轨迹方程；
（2）经过点 Q(0，2)的动直线 l与点 P的轨迹交于 M，N两点，是否存在定点 R使得
∠MRQ＝∠NRQ？若存在，求出点 R的坐标；若不存在，请说明理由．
3．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，以 为圆心的圆与 相切；
与抛物线 相交于 两点，且
（1）求抛物线的方程
（2）不与坐标轴垂直的直线与抛物线 交于 两点：与 轴交于 点；线段 的垂
直平分线与 轴交于 点，若 ，求 点的坐标
2
4．已知抛物线 的焦点为 ，过点 且垂直于 轴的直线与 交于
两点， (点 为坐标原点)的面积为 2．
（1）求抛物线 的方程；
（2）若过点 的两直线 ， 的倾斜角互补，直线 与抛物线 交于
两点，直线 与抛物线 交于 两点， 与 的面积相等，求实数 的取
值范围．
5．已知抛物线 （ ）的焦点为 ，点 是抛物线内一点，若该抛
物线上存在点 ，使得 有最小值 3．
（1）求抛物线 的方程；
（2）设直线 ，点 是 与 轴的交点，过点 作与 平行的真线 ，过点
的动直线 与抛物线 相交于 ， 两点，直线 ， 分别交直线 于点 ， ，
证明： ．
6．已知抛物线 的焦点为 ，点 在抛物线上．
（1）求抛物线 的方程；
3
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