专题2.10 函数模型及其应用（解析版）

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2021 年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 2.10 函数模型及其应用

一、题型全归纳....................................................................................................................................................... 1

题型一用函数图象刻画变化过程.................................................................................................................. 1

题型二二次函数、分段函数、“对勾”函数模型....................................................................................... 2

题型三指数、对数函数模型.......................................................................................................................... 5

题型四函数建模在实际问题中的妙用.......................................................................................................... 6

二、高效训练突破................................................................................................................................................... 8

一、题型全归纳

题型一用函数图象刻画变化过程

【题型要点】判断函数图象与实际问题变化过程相吻合的方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不

符合实际的情况，选择符合实际情况的答案．

【例 1】汽车的“燃油效率”是指汽车每消耗 1升汽油行驶的里程，如图描述了甲、乙、丙三辆汽车在不

同速度下的燃油效率情况．下列叙述中正确的是(　　)

A．消耗 1升汽油，乙车最多可行驶 5千米

B．以相同速度行驶相同的路程，三辆汽车中，甲车消耗汽油量最多

C．甲车以 80 千米/小时的速度行驶 1小时，消耗 10 升汽油

D．某城市机动车最高限速 80 千米/小时，相同条件下，在该城市用丙车比用乙车更省油

【答案】D

【解析】根据图象知消耗 1升汽油，乙车最多行驶里程大于 5千米，故选项 A错；以相同速度行驶时，甲

车燃油效率最高，因此以相同速度行驶相同路程时，甲车消耗汽油最少，故选项 B错；甲车以 80 千米/小

时的速度行驶时燃油效率为 10 千米/升，行驶 1小时，里程为 80 千米，消耗 8升汽油，故选项 C错；最高

限速 80 千米/小时，丙车的燃油效率比乙车高，因此相同条件下，在该市用丙车比用乙车更省油，故选项

D对．

【例 2】(2020·广州市综合检测(一))如图，一高为 H且装满水的鱼缸，其底部装有一排水小孔，当小孔打

开时，水从孔中匀速流出，水流完所用时间为 T. 若鱼缸水深为 h时，水流出所用时间为 t，则函数 h＝f(t)

的图象大致是(　　)

【答案】B.

【解析】：水位由高变低，排除 C，D.半缸前下降速度先快后慢，半缸后下降速度先慢后快，故选 B.

题型二二次函数、分段函数、“对勾”函数模型

【题型要点】建模解决实际问题的三个步骤

(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．

(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学演算，得到问题在数学意义上的解．

(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入的讨论，作出评价、解释，返回到原来的实际问题中去，得到

实际问题的解．

即：

【易错点提醒】(1)构建函数模型时不要忘记考虑函数的定义域．

(2)利用模型 f(x)＝ax＋求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件．

【例 1】 (2019·西北师大附中月考)牧场中羊群的最大畜养量为 m只，为保证羊群的生长空间，实际畜养量

不能达到最大畜养量，必须留出适当的空闲量．已知羊群的年增长量y只和实际畜养量x只与空闲率的乘

积成正比，比例系数为 k(k＞0)．

(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；

(2)求羊群年增长量的最大值；

(3)当羊群的年增长量达到最大值时，求 k的取值范围．

【解析】 (1)根据题意，由于最大畜养量为 m只，实际畜养量为 x只，则畜养率为，故空闲率为 1－，

由此可得 y＝kx

(

1- x

)

0<x<m)．

(2)由(1)知y＝kx

(

1- x

)

＝－(x2－mx)＝－

(

x- m

)

＋，即当 x＝时，y取得最大值.

(3)由题意知为给羊群留有一定的生长空间，则有实际畜养量与年增长量的和小于最大畜养量，即 0<x＋

y<m.因为当 x＝时，ymax＝，所以 0<＋<m，解得－2<k<2.又因为 k>0，所以 0<k<2.故k的取值范围为(0,2)．

【易错点分析】在建立二次函数模型解决实际问题中的最优问题时，一定要注意自变量的取值范围，需根

据函数图象的对称轴与函数定义域在坐标系中对应区间之间的位置关系讨论求解，解决函数应用问题时，

最后还要还原到实际问题．

【例 2】(2019·东台创新学校月考)某厂生产某种产品 x百台，总成本为C(x)万元，其中固定成本为2万元，

每生产 1百台，成本增加 1万元，销售收入为 R(x)万元，且 R(x)＝假定该产品产销平衡．

(1)若要该厂不亏本，产量x应控制在什么范围内？

(2)该厂生产多少台时，可使利润最大？

(3)求该厂利润最大时产品的售价．

【解析】由题意得，成本函数 C(x)＝2＋x，从而利润函数 L(x)＝R(x)－C(x)＝

(1)要使该厂不亏本，只要L(x)≥0.

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