专题2.10 变化率与导数、导数的计算（原卷版）

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第二篇函数、导数及其应用

专题 2.10 变化率与导数、导数的计算

【考纲要求】

1. 了解导数概念的实际背景，理解导数的几何意义．

2．能根据导数的定义求函数 y＝C(C 为常数)，y＝x，y＝，y＝x2的导数．

3．能利用基本初等函数的导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数.

【命题趋势】

1. 导数的概念及几何意义是热点问题，难度不大，经常与函数结合，通过求导研究函数的性质．

2．导数几何意义的应用是热点问题，难度较大，题型大多是根据导数的几何意义求参数值或参数的取值

范围，以及与切线有关的计算、证明问题.

【核心素养】

本讲内容主要考查数学运算、数学建模的核心素养.

【素养清单•基础知识】

1．导数的概念

(1)函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数：函数 y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率＝

❶为函数 y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作 f′(x0)或y′x＝x0，即 f′(x0)＝＝

函数 y＝f(x)的导数 f′(x)反映了函数 f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了

变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”．

(2)导数的几何意义：函数 f(x)在x＝x0处的导数 f′(x0)的几何意义是在曲线 y＝f(x)上点 P(x0，y0)❷处的切线的

斜率(瞬时速度就是位移函数 s(t)对时间 t的导数)．相应地，切线方程为 y－y0＝f′(x0)(x－x0)．

❷曲线 y＝f(x)在点 P(x0，y0)处的切线是指 P为切点，斜率为 k＝f′(x0)的切线，是唯一的一条切线.

(3)函数 f(x)的导函数：称函数 f′(x)＝为 f(x)的导函数．

(4)f′(x)是一个函数，f′(x0)是函数 f′(x)在x0处的函数值(常数)，[f′(x0)]′＝0.

2．基本初等函数的导数公式

原函数导函数

f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝n·xn－1

f(x)＝sin x f′(x)＝cos x

f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x

f(x)＝ax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝axln a

f(x)＝exf′(x)＝ex

f(x)＝logax(a＞0，且 a≠1) f′(x)＝

f(x)＝ln x f′(x)＝

3.导数的运算法则

(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；

(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；

(3) (g(x)≠0)．

4．复合函数的导数

复合函数 y＝f(g(x))的导数和函数 y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为 yx′＝yu′·ux′，即 y对x的导数等于 y对u

的导数与 u对x的导数的乘积．

【素养清单•常用结论】

1．奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数．

2．熟记以下结论：

(1)′＝－；(2)(ln|x|)′＝；

(3) (f(x)≠0)；

(4)[af(x)±bg(x)]′＝af′(x)±bg′(x)．

【真题体验】

1．【2019 年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线在点（1，ae）处的切线方程为 y=2x+b，则（

）

A． B．a=e，b=1

C． D．，

2.【2019 年高考天津理数】已知，设函数若关于的不等式

在上恒成立，则的取值范围为（）

A． B．

C． D．

3.【2019 年高考浙江】已知，函数．若函数

恰有 3个零点，则（）

A．a<–1，b<0 B．a<–1，b>0

C．a>–1，b<0 D．a>–1，b>0

4. 【2019 年高考全国Ⅰ卷理数】曲线在点处的切线方程为____________．

5. 【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点 P到直

线的距离的最小值是 .

6.【2019 年高考江苏】在平面直角坐标系中，点 A在曲线 y=lnx上，且该曲线在点 A处的切线经过点

（-e，-1)(e 为自然对数的底数），则点 A的坐标是 .

7. 【2019 年高考北京理数】设函数（a为常数）．若 f（x）为奇函数，则 a=________；

若f（x）是 R上的增函数，则 a的取值范围是___________．

【考法拓展•题型解码】

考法一　导数的运算

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