专题2.9 圆锥曲线-双曲线（原卷版）

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专题 2.9 圆锥曲线-双曲线
1．求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；
（4）消参法．要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程．
2．点差法是圆锥曲线中解决中点和斜率关系的重要方法，利用点差法时，一定注意最后的
检验．
1．已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，动点 在双曲线 上．
当 时， ．
（1）求双曲线 的方程．
（2）设 为双曲线上一点，点 ， 在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，
若 恰为线段 的中点，试判断 的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定
值；若不为定值，请说明理由．
2．已知双曲线 ： 的左､右焦点分别为 ， ，虚轴上､下两
个端点分别为 ， ，右顶点为 ，且双曲线过点 ， ．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）设以点 为圆心，半径为 2的圆为 ，已知过 的两条相互垂直的直线 ， ，直
1
线 与双曲线交于 ， 两点，直线 与圆 相交于 ， 两点，记 ，
的面积分别为 ， ，求 的取值范围．
3．已知双曲线 的离心率为 ，点 在 上．
（1）求双曲线 的方程；
（2）设过点 的直线 l与曲线 交于 M，N两点，问在 x轴上是否存在定点 Q，使得
为常数？若存在，求出 Q点坐标及此常数的值，若不存在，说明理由．
4．已知双曲线 的左､右焦点分别为 ，点 在 C上，且
．
（1）求 C的方程；
（2）斜率为 的直线 l与C交于 A，B两点，点 B关于原点的对称点为 D．若直线
的斜率存在且分别为 ，证明： 为定值．
5．已知双曲线 的两个焦点分别为 ， ，点
2
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