专题2.9 圆锥曲线-双曲线（解析版）

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专题 2.9 圆锥曲线-双曲线
1．求动点的轨迹方程常见的方法有：（1）直接法；（2）定义法；（3）相关点代入法；
（4）消参法．要根据数学情景灵活选择方法求动点的轨迹方程．
2．点差法是圆锥曲线中解决中点和斜率关系的重要方法，利用点差法时，一定注意最后的
检验．
1．已知双曲线 的左顶点为 ，右焦点为 ，动点 在双曲线 上．
当 时， ．
（1）求双曲线 的方程．
（2）设 为双曲线上一点，点 ， 在双曲线的渐近线上，且分别位于第一、四象限，
若 恰为线段 的中点，试判断 的面积是否为定值?若为定值，请求出这个定
值；若不为定值，请说明理由．
【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（三）
【答案】（1） ；（2）是定值，2．
【分析】（1）由 可得 ，求出 即可得出方程；
（2）设出点 ， 的坐标，可得点 的坐标，代入双曲线 的方程，可得 ，设
，利用渐近线方程的斜率得角 的正切值，再利用三角函数的基本关系式及
1
二倍角公式得 ，由 ， 的坐标得 ， ，结合 及三角形面积公式
即可求出 ．
【解析】（1）由题意，易得 ， ，
则由 ，可得 ，
，即 ．
又 ，解得 （负值舍去）， ，
解得 ， 双曲线 的方程为 ．
（2）由（1）可知双曲线Ｃ的渐近线方程为 ，
设 ， ，其中 ， ．
为线段 的中点， ，
将点 的坐标代入双曲线 的方程得 ，解得 ．
设 ，则 ．
又 ， ， ，
， ， ．
2
又 ， ，
，
的面积为定值 2．
【名师点睛】本题考查双曲线中三角形面积的定值问题，解题的关键是设出点 ， 的
坐标，设 ，得出 和 ．
2．已知双曲线 ： 的左､右焦点分别为 ， ，虚轴上､下两
个端点分别为 ， ，右顶点为 ，且双曲线过点 ， ．
（1）求双曲线 的标准方程；
（2）设以点 为圆心，半径为 2的圆为 ，已知过 的两条相互垂直的直线 ， ，直
线 与双曲线交于 ， 两点，直线 与圆 相交于 ， 两点，记 ，
的面积分别为 ， ，求 的取值范围．
【试题来源】普通高等学校招生全国统一考试数学预测卷（二）
【答案】（1） ；（2） ．
【 分 析 】 （ 1） 由 得 ， 由 双 曲 线 过 点 得
，两个方程联立求出 和 ，可得双曲线 的标准方程；
3
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