专题2.9 函数与方程（解析版）

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2021 年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 2.9 函数与方程

一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1

题型一函数零点所在区间的判断......................................................................................................................1

题型二函数零点个数的判断..............................................................................................................................2

题型三函数零点的应用.......................................................................................................................................4

二、高效训练突破.........................................................................................................................................................5

一、题型全归纳

题型一函数零点所在区间的判断

【题型要点】判断函数零点所在区间的方法

方法解读适合题型

定理法利用函数零点的存在性定理进行判断能够容易判断区间端点值所对应函数值

的正负

图象法画出函数图象，通过观察图象与 x轴

在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象

【例 1】函数 f(x)＝log3x＋x－2的零点所在的区间为(　　)

A．(0，1)　　　　　　　 B．(1，2)

C．(2，3) D．(3，4)

【答案】　B

【解析】解法一(定理法)：函数 f(x)＝log3x＋x－2的定义域为(0，＋∞)，并且 f(x)在(0，＋∞)上单调递增，

图象是一条连续曲线．由题意知 f(1)＝－1<0，f(2)＝log32>0，f(3)＝2>0，根据零点存在性定理可知，函数

f(x)＝log3x＋x－2有唯一零点，且零点在区间(1，2)内．

解法二(图象法)：函数 f(x)的零点所在的区间转化为函数 g(x)＝log3x，h(x)＝－x＋2图象交点的横坐标所在

的范围．作出两个函数的图象如图所示

可知 f(x)的零点所在的区间为(1，2)．故选 B.

【例 2】若a<b<c，则函数 f(x)＝(x－a)(x－b)＋(x－b)(x－c)＋(x－c)(x－a)的两个零点分别位于区间(　　)

A．(a，b)和(b，c)内 B．(－∞，a)和(a，b)内

C．(b，c)和(c，＋∞)内 D．(－∞，a)和(c，＋∞)内

【答案】A

【解析】易知 f(a)＝(a－b)(a－c)，f(b)＝(b－c)(b－a)，f(c)＝(c－a)·(c－b)．又 a<b<c，则

f(a)>0，f(b)<0，f(c)>0，又该函数是二次函数，且开口向上，可知两根分别在(a，b)和(b，c)内．

题型二函数零点个数的判断

【题型要点】判断函数零点个数的 3种方法

(1)方程法：令 f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．

(2)定理法：利用定理不仅要求函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且 f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图

象与性质(如单调性、奇偶性、周期性、对称性)才能确定函数有多少个零点．

(3)图形法：转化为两个函数的图象的交点个数问题．先画出两个函数的图象，看其交点的个数，其中交点

的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．

【例 1】函数 f(x)＝的零点个数为(　　)

A．3 B．2

C．1 D．0

【答案】B

【解析】解法一(方程法)：由f(x)＝0，

得或

解得 x＝－2或x＝e.

因此函数 f(x)共有 2个零点．

解法二(图形法)：函数 f(x)的图象如图所示，

由图象知函数 f(x)共有 2个零点．

【例 2】若定义在 R上的偶函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x)，且 x∈[0,1]时，f(x)＝x，则方程 f(x)＝log3|x|的零点个

数是(　　)

A．2 B．3

C．4 D．多于 4

【答案】C

【解析】由 f(x＋2)＝f(x)，知函数 f(x)是周期为 2的周期函数，且是偶函数，在同一坐标系中画出 y＝log3|x|

和y＝f(x)，x∈[－3,3]的图象，如图所示，由图可知零点个数为 4.

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