专题2.9 函数模型及其应用（解析版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 2.9 函数模型及其应用

一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1

题型一　用函数图象刻画变化过程..................................................................................................................1

题型二应用所给函数模型解决实际问题..........................................................................................................2

题型三构建函数模型解决实际问题..................................................................................................................4

命题角度一　构造一次函数、二次函数模型............................................................................................5

命题角度二　构建指数函数、对数函数模型............................................................................................6

命题角度三构建函数 y＝ax＋(a＞0，b＞0)模型.....................................................................................7

命题角度四构建分段函数模型................................................................................................................7

二、高效训练突破.........................................................................................................................................................8

一、题型全归纳

题型一　用函数图象刻画变化过程

【题型要点】判断函数图象与实际问题中两变量变化过程相吻合的两种方法

(1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．

(2)验证法：当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化特点，结合图

象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选择出符合实际情况的答案.

【例 1】高为 H，满缸水量为 V的鱼缸的轴截面如图所示，其底部破了一个小洞，满缸水从洞中流出，若

鱼缸水深为 h时水的体积为 v，则函数 v＝f(h)的大致图象是(　　)

【答案】B

【解析】当 h＝H时，体积为 V，故排除 A，C；由 H→0 过程中，减少相同高度的水，水的体积从开始减

少的越来越快到越来越慢，故选 B.

【例 2】一水池有两个进水口，一个出水口，每个水口的进、出水速度如图甲、乙所示．某天 0点到 6点，

该水池的蓄水量如图丙所示．

给出以下 3个论断：① 0点到 3点只进水不出水；② 3点到 4点不进水只出水；③ 4点到 6点不进水不出水，

则一定正确的是(　　)

A．① B．①②

C．①③ D．①②③

【答案】A

【解析】由甲、乙两图知，进水速度是出水速度的，所以 0点到 3点不出水，3点到 4点也可能一个进水口

进水，一个出水口出水，但总蓄水量降低， 4点到 6点也可能两个进水口进水，一个出水口出水，一定正

确的是①.

题型二应用所给函数模型解决实际问题

【题型要点】求解所给函数模型解决实际问题的关注点

(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．

(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．

(3)利用该模型求解实际问题．　

【例 1】某商场从生产厂家以每件 20 元的价格购进一批商品，若该商品零售价定为 p元，销售量为 Q件，

则销售量 Q(单位：件)与零售价 p(单位：元)有如下关系：Q＝8 300－170 p－p2，则最大毛利润为(毛利润＝

销售收入－进货支出)(　　)

A．30 元　　　　　　　 B．60 元

C．28 000 元 D．23 000 元

【答案】D

【解析】设毛利润为 L(p)元，则由题意知

L(p)＝pQ－20Q＝Q(p－20)＝(8 300－170p－p2)(p－20)＝－p3－150p2＋11 700p－166 000，

所以 L′(p)＝－3p2－300p＋11 700.

令L′(p)＝0，解得 p＝30 或p＝－130(舍去)．

当p∈(0，30)时，L′(p)>0，当 p∈(30，＋∞)时，L′(p)<0，故 L(p)在p＝30 时取得极大值，即最大值，且最

大值为 L(30)＝23 000.

【例 2】(2020·衡水模拟)一个容器装有细沙 a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min

后剩余的细沙量为 y＝ae－bt(cm3)，经过 8 min 后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________min，容器

中的沙子只有开始时的八分之一．

【答案】：16

【解析】：当 t＝0时，y＝a；当 t＝8时，y＝ae－8b＝a，故 e－8b＝.当容器中的沙子只有开始时的八分之一时，

即y＝ae－bt＝a，e－bt＝＝(e－8b)3＝e－24b，则 t＝24，所以再经过 16 min 容器中的沙子只有开始时的八分之一．

题型三构建函数模型解决实际问题

【题型要点】1．几种常见的函数模型

函数模型函数解析式

一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)

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