专题2.8 圆锥曲线-椭圆（原卷版）

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专题 2.8 圆锥曲线-椭圆
1．利用根与系数关系法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出根与系数关系；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入根与系数关系求解．
2．直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，
应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂
式子的变形能力不足，导致错解．
1．已知点 为圆 ： 上一动点，圆心 关于 轴的对称点为 ，点
､分别是线段 ， 上的点，且 ， ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）过点 且斜率为 的直线与点 的轨迹交于 ， 两点，点 在点
的轨迹上， ，当 时，证明： ．
2．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过
1
的直线与椭圆 交于 ， 两点，若 的周长为 8．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为椭圆 上的动点，过原点作直线与椭圆 分别交于点 、 （点 不在直
线 上），求 面积的最大值．
3．已知椭圆 C的方程为 ， 在椭圆上，离心率 ，左、
右焦点分别为 、 ．
（1）求椭圆 C的方程；
（2）直线 与椭圆 C交于 A，B两点，连接 并延长交椭圆 C于D、E
两点，连接 ，求 的值．
4．已知圆 经过椭圆 的右焦点 ，且经过点
作圆 的切线被椭圆 截得的弦长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
2
（2）若点 ， 是椭圆 上异于短轴端 点 的 两点，点 满足 ，且
，试确定直线 ， 斜率之积是否为定值，若是，求出这个定值；若
不是，说明理由．
5．已知圆 经过椭圆 的右焦点 ，且经过点
作圆 的切线被椭圆 截得的弦长为 ．
（1）求椭圆 的方程；
（2）若直线 经过椭圆 的右焦点 与椭圆交于 ， 两点，且 ，求直线
的方程．
6．已知抛物线 的焦点为 ，准线为 ，椭圆 的上
焦点 到 的距离为 5，过 的直线 与 交于 ， 两点，当 轴时，
．
（1）求椭圆 的方程；
（2）直线 与 轴交于 点，直线 与 轴交于 点，求证： ．
7．已知椭圆 的左焦点为 F，过 F的直线 与椭圆
3
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