专题2.8 圆锥曲线-椭圆（解析版）

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专题 2.8 圆锥曲线-椭圆
1．利用根与系数关系法解决直线与圆锥曲线相交问题的基本步骤如下：
（1）设直线方程，设交点坐标为 、 ；
（2）联立直线与圆锥曲线的方程，得到关于 （或 ）的一元二次方程，必要时计算
；
（3）列出根与系数关系；
（4）将所求问题或题中的关系转化为 、 的形式；
（5）代入根与系数关系求解．
2．直线与圆锥曲线的综合问题的求解策略
对于直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用问题，通常联立直线方程与圆锥曲线方程，
应用一元二次方程根与系数的关系，以及弦长公式等进行求解，此类问题易错点是复杂
式子的变形能力不足，导致错解．
1．已知点 为圆 ： 上一动点，圆心 关于 轴的对称点为 ，点
､分别是线段 ， 上的点，且 ， ．
（1）求点 的轨迹方程；
（2）过点 且斜率为 的直线与点 的轨迹交于 ， 两点，点 在点
的轨迹上， ，当 时，证明： ．
【试题来源】广东省茂名市 2021 届高三下学期第二次综合测试
【答案】（1） ；（2）证明见解析
1
【分析】（1）由已知可得 ，可判断点 在以 为交点的椭圆上，
即可求出方程；（2）将直线方程代入椭圆，利用弦长公式可求出 ，同
理可得 ，由已知可得 ，利用导数结合零点存在
性定理即可证明．
【解析】（1） ， 是 的中点， ， ，
点 在 的垂直平分线上， ，
，
点 在以 为交点的椭圆上，且 ，则 ，
故点 的轨迹方程为 ；
（2）可得直线 的方程为 ，
与椭圆方程联立可得 ，
设 ，则 ，可得 ，
则 ，
由题可得，直线 的方程为 ，
故同理可得 ，
2
由 可得 ，即 ，
设 ，则 是 的零点，
，则 在 单调递增，
又 ，
因此 在 有唯一零点，且零点 在 内，即 ．
【名师点睛】本题考查椭圆的轨迹方程，解题的关键是利用椭圆定义得出 的轨迹为椭
圆；考查参数范围的证明，解题的关键是利用弦长公式求出弦长，利用已知得出
，再利用导数证明．
2．已知椭圆 的左、右焦点分别为 ， ，离心率为 ，过
的直线与椭圆 交于 ， 两点，若 的周长为 8．
（1）求椭圆 的标准方程；
（2）设 为椭圆 上的动点，过原点作直线与椭圆 分别交于点 、 （点 不在直
线 上），求 面积的最大值．
【试题来源】湖南省长郡十五校 2021 届高三下学期第二次联考
3
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