专题2.8 计数原理与古典概率--《2021届高三数学（浙江）三轮复习专题突破》第二篇 清查易错防遗漏 【原卷版】

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专题 2.8 计数原理与古典概率
1.不能正确区分排列与组合导致错误
涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题
与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，
则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处
理．
例 1. （2020·江苏高二月考）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国
特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、
紧跟时代脉搏的热门 ，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”
“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，六个板块都要做完，并且不能
同时进行多个板块的学习，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习
方法有（ ）
A．192 种B．240 种C．432 种D．528 种
点评：1.常见排列组合问题的解法：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
2. 本题考查排列数和组合数的应用，关键点在于理解“最多间隔一个”，需要分相邻和间隔一个两种情况
讨论.
2.混淆“二项式系数与项的系数”致误
( )n
a b
的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指
k
n
C
，它仅是与二项式的
幂的指数 n 及项数有关的组合数，而与 a，b 的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不
仅与各项的二项式系数有关，而且也与 a，b 的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个
区别.
例 2.（2020·安徽六安一中高三月考（理））已知 展开式的各项系数和为 128，则展开式中
1
含 项的系数为______________.
点评：1、二项式定理；2.赋值法求系数和；3.利用组合思想求项的系数，减少计算量.
例3．（2021·浙江温州市·高三期末）二项式 的展开式中的常数项为______，各个二项式系数
的和为______．
点评：1、二项式定理；2.二项式展开式通项公式；3. 二项式系数为 .
3.基本事件判断不准、列举重复或遗漏致误
基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事
件的和.
例 4.（2021·河南高三月考（文））中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料
来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》.八音分为“金、石、七、革、丝、木、匏、竹”，
其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、
革、丝”中任取“两音”，则“两音”中含“丝”的概率为（ ）
A．B．C．D．
点评：1.列举法求古典概型的概率；2.利用对立事件求概率 3.求解古典概型问题的关键是找出样本空间中
的基本事件数及所求事件包含的基本事件数，常用方法有列举法、树状图法、列表法法等，所求事件包含
的基本事件数与样本空间包含的基本事件数的比值就是所求事件的概率.
4.因事件之间的关系不清致误
求事件的概率的关键在于搞清事件的关系，合理选择概率公式进行求解；如：互斥事件有一个发生的概
率使用加法公式，相互独立事件同时发生的概率使用乘法公式.
例5.（2020·湖南高三期末（理））世界排球比赛一般实行“五局三胜制”，在 2019 年第 13 届世界女排
俱乐部锦标赛（俗称世俱杯）中，中国女排和某国女排相遇，根据历年数据统计可知，在中国女排和该国
女排的比赛中，每场比赛中国女排获胜的概率为 ，该国女排获胜的概率为 ，现中国女排在先胜一局的
情况下获胜的概率为（ ）
2
A．B．C．D．
点评：根据比赛情况,按照比赛总场次分类讨论.当总共比赛三场, 中国女排在先胜一局的情况下,则随后
两场中国队都获胜;当总共比赛四场,则第二场或第三场中国队获胜,第四场获胜;当总共比赛五场时,则第
二场、第三场、第四场中国队获胜一场,第五场中国队获胜即可.根据概率计算,将三种情况下的概率求和
即可得解.分类讨论求符合要求条件的概率,注意分类讨论要全面.
5.综合应用能力差而致错
求复杂事件的概率问题，关键是理解题目的实际含义：思路一：将所求事件化为彼此互斥事件的和，再用
互斥事件的概率加法公式求解；思路二：先求对立事件的概率，再利用对立事件的概率公式进行求解.
例6.（2020·河南高三（理））2019 年暑假期间，河南有一新开发的景区在各大媒体循环播放广告，观众
甲首次看到该景区的广告后，不来此景区的概率为 ，从第二次看到广告起，若前一次不来此景区，则这
次来此景区的概率是 ，若前一次来此景区，则这次来此景区的概率是 .记观众甲第
n
次看到广告后不
来此景区的概率为 ，若当 时， 恒成立，则
M
的最小值为__________.
点评：本题考查概率与数列的综合题，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算
求解能力；求解时注意判断得到“等比数列”并寻找递推关系是解题的关键. 设 为观众甲第 次看到广
告后不来此景区的概率，根据题意可得 是首项为 ，公比为 的等比数列，求出 的
通项公式，再判断其单调性，即可得答案.
6.均值、方差的概念及计算公式混淆导致错误
设离散型随机变量
X
的分布列为
X
1
x
2
x
…
i
x
…
n
x
1
p
2
p
…
i
p
…
n
p
分布列的两个性质①
0
i
p
，
1, 2, ,i n
；②
1 2 1
n
p p p  
.
3
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