专题2.8 计数原理与古典概率--《2021届高三数学（浙江）三轮复习专题突破》第二篇 清查易错防遗漏 【教师版】

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专题 2.8 计数原理与古典概率
1.不能正确区分排列与组合导致错误
涉及排列与组合问题，区分的关键是看选出的元素是否与顺序有关，排列问题与顺序有关，组合问题
与顺序无关．“含”与“不含”的问题：“含”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，
则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取．通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维，用间接法处
理．
例 1. （2020·江苏高二月考）“学习强国”学习平台是由中宣部主管，以深入学习宣传习近平新时代中国
特色社会主义思想为主要内容，立足全体党员、面向全社会的优质平台，现日益成为老百姓了解国家动态、
紧跟时代脉搏的热门 ，该款软件主要设有“阅读文章”“视听学习”两个学习板块和“每日答题”
“每周答题”“专项答题”“挑战答题”四个答题板块.某人在学习过程中，六个板块都要做完，并且不能
同时进行多个板块的学习，“阅读文章”与“视听学习”两大学习板块之间最多间隔一个答题板块的学习
方法有（ ）
A．192 种B．240 种C．432 种D．528 种
【答案】C
【解析】
本题要将相邻的情况和“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的情况分别思考，用排列组合的
知识分别计算，最后相加即得结果.
【详解】
由题意，可知“阅读文章”与“视听学习”相邻的方法数为 种；
“阅读文章”与“视听学习”间恰有一个答题板块的方法数为 种；
共有 种方法.
故选：C.
点评：1.常见排列组合问题的解法：
（1）相邻问题采取“捆绑法”；
（2）不相邻问题采取“插空法”；
1
（3）有限制元素采取“优先法”；
（4）特殊元素顺序确定问题，先让所有元素全排列，然后除以有限制元素的全排列数.
2. 本题考查排列数和组合数的应用，关键点在于理解“最多间隔一个”，需要分相邻和间隔一个两种情况
讨论.
2.混淆“二项式系数与项的系数”致误
的展开式的二项式系数与该项的系数是两个不同的概念，前者只是指，它仅是与二项式的
幂的指数n及项数有关的组合数，而与a，b的值无关；而后者是指该项除字母外的部分，即各项的系数不
仅与各项的二项式系数有关，而且也与a，b的系数有关．在求二项展开式特定项的系数时要充分注意这个
区别.
例 2.（2020·安徽六安一中高三月考（理））已知 展开式的各项系数和为 128，则展开式中
含 项的系数为______________.
【答案】
【解析】
令得， ，解得 ，
将 看成 7个 相乘，
要得到含 项，则这 7个因式中 2 个因式取 ，
余下5个因式中 3 个取 ，余下 2 个因式取 2，
所以含 项的系数为 .
故答案为:
点评：1、二项式定理；2.赋值法求系数和；3.利用组合思想求项的系数，减少计算量.
例3．（2021·浙江温州市·高三期末）二项式 的展开式中的常数项为______，各个二项式系数
的和为______．
【答案】240 64
【解析】
( )n
a bk
n
C
2
求出展开式通项，令的指数为 0，即可求出常数项，根据公式可直接计算各个二项式系数的和.
【详解】
的展开式中的通项为 ，
令，解得 ，所以常数项为 ，
各个二项式系数的和为 .
故答案为：240；64.
点评：1、二项式定理；2.二项式展开式通项公式；3. 二项式系数为 .
3.基本事件判断不准、列举重复或遗漏致误
基本事件的特点：(1)任何两个基本事件是互斥的.(2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事
件的和.
例 4.（2021·河南高三月考（文））中国古典乐器一般按“八音”分类，这是我国最早按乐器的制造材料
来对乐器进行分类的方法，最早见于《周礼·春官·大师》.八音分为“金、石、七、革、丝、木、匏、竹”，
其中“金、石、木、革”为打击乐器，“土、匏、竹”为吹奏乐器，“丝”为弹拨乐器.现从“金、石、土、
革、丝”中任取“两音”，则“两音”中含“丝”的概率为（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
利用列举法写出基本事件，再利用古典概型的概率计算公式即可求解.
【详解】
从“金、石、土、革、丝”中任取“两音”有（金、石），（金、土），（金、革），（金、丝），
（石、土），（石、革），（石、丝），（土、革），（土、丝），（革、丝）共 10 个基本事件，
其中含“丝”的有（金、丝），（石、丝），（土、丝），（革、丝），共 个基本事件，
故所求概率 .
故选：A
3
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