专题2.7 立体几何与空间向量--《2021届高三数学（浙江）三轮复习专题突破》第二篇 清查易错防遗漏 【原卷版】

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专题 2.7 立体几何与空间向量
1. 立体图形的截面问题
高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及
线面平行与面面平行的性质定理的考查.考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的
方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上
所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如
证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交 ，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共
点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的
共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别
取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线.另一种方法就
是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线.一般
情况下 这两种方法要结合应用.
例 1.（2021·全国高三月考（理））已知四棱锥 中， 平面 ，四边形 为正方
形， ，平面 过 ， ， 的中点，则平面 截四棱锥 所得的截面面积为
（ ）
A．B．C．D．
点评：1．判断截面的形状，应该将现有截面进行延伸，必须找出与整个几何体表面的截线.
2.本题分别取 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，线段 上靠近 的四等分点 作出并证明
平面 即为平面 是解题的关键.
例2.（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））如图，正方体 的棱长为 ，点 在棱 上，
1
，过 的平面 与平面 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边
形的周长为________．
2.三视图
高考对三视图的要求是：（1）理解简单空间图形 (柱、锥、台、球的简易组合) 的含义，了解中心投影
的含义，掌握平行投影的含义；（2）理解三视图和直观图间的关系，掌握三视图所表示的空间几何体.会
用斜二测法画出它们的直观图.从学生反馈情况看，主要错误是不能正确视图，还原几何体.突破这一瓶颈
的有效途径，一是熟悉规则，二是多做一些练习.
例 3.（2021·全国高三月考（文））在 2000 年威尼斯世界建筑设计展览会上，方圆大厦成为亚洲唯一获奖
的作品，获得“世界上最具创意性和革命性的完美建筑”的美誉建筑，大厦立面以颇具传统文化意味的
“古钱币”为外形，借此预示着入驻大厦的业主财源广进，事业发达，也有人认为这是象征中国传统文化
的天圆地方，若将“内方”视为空心，其主视图和左视图如图所示，则其表面积为（ ）
A．
2
B．
C．
D．
点评：由三视图画出直观图的步骤和思考方法：1、首先看俯视图，根据俯视图画出几何体地面的直观图；
2、观察正视图和侧视图找到几何体前、后、左、右的高度；3、画出整体，然后再根据三视图进行调整.
4.在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体
的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线.在还原空间几何体实际形状时，一般
是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑.
3.常见几何体的面积、体积计算问题
几何体面积或体积的计算，是高考命题的热点，一般说来难度不大，但在解题过程中，出错率较高，主
要原因是，公式记忆不清楚，特别是棱锥，球的体积公式容易忽视公式系数，导致出错；另外，计算简单
几何体的体积，要选择某个面作为底面，选择的前提条件是这个面上的高易求.作为几何体与球的切接问
题，要注意合理构建几何模型，探寻元素之间的关系.
例4. （2021·河南高三一模（理））在三棱锥 中， ， ，
则该三棱锥的内切球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
点评：本题考查几何体的内切问题，解题的关键是将几何体还原到长方体中，立体等体积关系求出内切球
半径.
例5. 如图，三棱锥
A − BCD
的顶点
A
，
B
，
C
，
D
都在同一球面上，
过球心
O
且
BD=2
，
△ABC
是边
长为
√
2
等边三角形，点
P
、
Q
分别为线段
AO
，
BC
上的动点（不含端点），且
AP=CQ
，则三棱锥
P −QCO
体积的最大值为__________．
3
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