专题2.7 立体几何与空间向量--《2021届高三数学（浙江）三轮复习专题突破》第二篇 清查易错防遗漏 【教师版】

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专题 2.7 立体几何与空间向量
1. 立体图形的截面问题
高考对用一平面去截一立体图形所得平面图形的考查实质上对学生空间想象能力及对平面基本定理及
线面平行与面面平行的性质定理的考查.考生往往对这一类型的题感到吃力，实质上高中阶段对作截面的
方法无非有如下两种：一种是利有平面的基本定理：一个就是一条直线上有两点在一平面内则这条直线上
所在的点都在这平面内和两平面相交有且仅有一条通过该公共点的直线（即交线）（注意该定理地应用如
证明诸线共点的方法：先证明其中两线相交 ，再证明此交点在第三条直线上即转化为此点为两平面的公共
点而第三条直线是两平的交线则依据定理知交点在第三条直线；诸点共线：即证明此诸点都是某两平面的
共公点即这此点转化为在两平的交线上）据这两种定理要做两平面的交线可在两平面内通过空间想象分别
取两组直线分别相交，则其交点必为两平面的公共点，并且两交点的连线即为两平的交线.另一种方法就
是依据线面平行及面面平行的性质定理，去寻找线面平行及面面平行关系，然后根据性质作出交线.一般
情况下 这两种方法要结合应用.
例 1.（2021·全国高三月考（理））已知四棱锥 中， 平面 ，四边形 为正方
形， ，平面 过 ， ， 的中点，则平面 截四棱锥 所得的截面面积为
（ ）
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】
顺次连接 E
，
F
，
G
，
H
，
I，则平面 EFGHI 即为过 E
，
F
，
H的平面 截四棱锥 P-ABCD 所得截面，求其面
积，可得答案.
【详解】
分别取 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，线段 上靠近 的四等分点 ，
连接 ,
1
因为 ,
所以 ,四边形 是平行四边形，即 四点共面，
设 中点为 ,易得 ,故 ，所以 五点共面，
则平面 即为平面 ，如图，
在 中， ,可得 ,
所以 ， ， ，
在等腰三角形 中， ， ，所以高为 ，
故所求截面面积为矩形面积与三角形面积之和， ．
故选：A
点评：1．判断截面的形状，应该将现有截面进行延伸，必须找出与整个几何体表面的截线.
2.本题分别取 ， ， ， 的中点 ， ， ， ，线段 上靠近 的四等分点 作出并证明
平面 即为平面 是解题的关键.
例2.（2021·甘肃兰州市·高三其他模拟（文））如图，正方体 的棱长为 ，点 在棱 上，
，过 的平面 与平面 平行，且与正方体各面相交得到截面多边形，则该截面多边
2
形的周长为________．
【答案】
【解析】
先利用平行关系得到截面与正方体的交点位于靠近 的三等分点处，从而得到截面图像，再利用正
方体的棱长求出截面多边形的周长即可.
【详解】
如图：虚线即为截面图形，
分别为各边的三等分点，
且面 面 ，
设正方体的棱长为 ，
则 ，
可得 ,
则截面 的周长为： ，
则该截面多边形的周长为 .
3
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