专题2.7 空间向量与立体几何（原卷版）高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

3.0 envi 2025-02-12 15 4 521.43KB 11 页 3知币

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专题 2.7 空间向量与立体几何

1．求空间中直线与平面所成角的常见方法

（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；

（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值

即线面成角的正弦值；

（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角

的正弦值．

2．利用向量求异面直线所成的角的方法

设异面直线 AC，BD 的夹角为 β，则 cos β＝．

3．利用向量求线面角的方法：

①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角

(或其补角)；

②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余

角就是斜线和平面所成的角．

4．利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过

两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角

还是钝角．

1．如图，在四棱锥中，底面为正方形．且平面，M，N

分别为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值．

2．如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中

，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙．

（1）求证：平面平面；

（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积

比为，求直线与平面所成角的正弦值．

3．如图，三棱锥的底面和侧面都是边长为 4的等边三角形，且平面

平面，点为线段中点，点为上的动点．

（1）若平面平面，求线段的长；

（2）求直线与平面所成角的正弦值．

4．如图，在三棱柱中，

．

（1）证明：平面；

（2）设点 D为的中点，求直线与平面所成角的正弦值．

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