专题2.7 空间向量与立体几何（解析版）高考数学解答题挑战满分专项训练（新高考地区专用）

3.0 envi 2025-02-12 17 4 2.16MB 41 页 3知币

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专题 2.7 空间向量与立体几何

1．求空间中直线与平面所成角的常见方法

（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；

（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值

即线面成角的正弦值；

（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角

的正弦值．

2．利用向量求异面直线所成的角的方法

设异面直线 AC，BD 的夹角为 β，则 cos β＝．

3．利用向量求线面角的方法：

①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角

(或其补角)；

②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余

角就是斜线和平面所成的角．

4．利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过

两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角

还是钝角．

1．如图，在四棱锥中，底面为正方形．且平面，M，N

分别为的中点．

（1）求证：平面；

（2）若，求与平面所成角的正弦值．

【试题来源】北京市顺义区 2021 届高三二模

【答案】（1）详见解析；（2）．

【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明；（2）首先

建立空间直角坐标系，求平面的法向量，利用线面角的向量公式求解．

【解析】（1）连结，分别是的中点，，

平面，平面，平面；

（2）如图，以点为原点，为轴的正方向建立空间直角坐标系，

，，，，

，，，

设平面的法向量，

则，即，令，则，

平面的法向量，

则，

所以与平面所成角的正弦值是．

2．如图甲是由正方形，等边和等边组成的一个平面图形，其中

，将其沿，，折起得三棱锥，如图乙．

（1）求证：平面平面；

（2）过棱作平面交棱于点，且三棱锥和的体积

比为，求直线与平面所成角的正弦值．

【试题来源】三省三校“3 3 3”2021 届高考备考诊断性联考卷（二）

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