专题2.7 空间向量与立体几何（解析版）

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专题 2.7 空间向量与立体几何
1．求空间中直线与平面所成角的常见方法
（1）定义法：直接作平面的垂线，找到线面成角；
（2）等体积法：不作垂线，通过等体积法间接求点到面的距离，距离与斜线长的比值
即线面成角的正弦值；
（3）向量法：利用平面法向量与斜线方向向量所成的余弦值的绝对值，即是线面成角
的正弦值．
2．利用向量求异面直线所成的角的方法
设异面直线 AC，BD 的夹角为 β，则 cos β＝ ．
3．利用向量求线面角的方法：
①分别求出斜线和它所在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角
(或其补角)；
②通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余
角就是斜线和平面所成的角．
4．利用向量求面面角的方法：就是分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过
两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角是锐角
还是钝角．
1．如图，在四棱锥 中，底面 为正方形．且 平面 ，M，N
分别为 的中点．
1
（1）求证： 平面 ；
（2）若 ，求 与平面 所成角的正弦值．
【试题来源】北京市顺义区 2021 届高三二模
【答案】（1）详见解析；（2） ．
【分析】（1）要证明线面平行，需证明线线平行，即转化为证明 ；（2）首先
建立空间直角坐标系，求平面 的法向量，利用线面角的向量公式求解．
【解析】（1）连结 ， 分别是 的中点， ，
平面 ， 平面 ， 平面 ；
（2）如图，以点 为原点， 为 轴的正方向建立空间直角坐标系，
， ， ， ，
2
， ， ，
设平面 的法向量 ，
则 ，即 ，令 ，则 ，
平面 的法向量 ，
则 ，
所以 与平面 所成角的正弦值是 ．
2．如图甲是由正方形 ，等边 和等边 组成的一个平面图形，其中
，将其沿 ， ， 折起得三棱锥 ，如图乙．
（1）求证：平面 平面 ；
（2）过棱 作平面 交棱 于点 ，且三棱锥 和 的体积
比为 ，求直线 与平面 所成角的正弦值．
【试题来源】三省三校“3 3 3”2021 届高考备考诊断性联考卷（二）
3
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