专题2.7 对数与对数函数（解析版）

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2021 年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 2.7 对数与对数函数

一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1

题型一对数式的化简与求值..............................................................................................................................1

题型二对数函数的图象及应用..........................................................................................................................2

题型三对数函数的性质及应用..........................................................................................................................4

命题角度一　比较对数值的大小................................................................................................................4

命题角度二　解简单的对数不等式或方程................................................................................................5

命题角度三　对数型函数的综合问题........................................................................................................6

题型四　分类讨论思想研究指数、对数函数的性质........................................................................................7

二、高效训练突破.........................................................................................................................................................8

一、题型全归纳

题型一对数式的化简与求值

【题型要点】解决对数运算问题的常用方法

(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．

(2)将同底对数的和、差、倍合并．

(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

(4)利用常用对数中的 lg 2＋lg 5＝1.

【例 1】计算下列各式：(1)2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2；

(2)log225·log32·log59；

【解析】(1)2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5)＋(lg 2)2＝2lg 5＋lg 2(lg 2＋2lg 5＋lg 2)＝2lg 5＋lg 2(2lg 2＋2lg 5)＝2lg 5

＋2lg 2＝2.

(2)解法一：log225·log32·log59＝log252·log32·log532＝6log25·log32·log53＝6.

解法二：log225·log32·log59＝··＝··＝6.

【例2】如果 2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ，那么的值为(　　)

A. B．4

C．1 D．4或1

【答案】B.

【解析】：由 2loga(P－2Q)＝logaP＋logaQ，得 loga(P－2Q)2＝loga(PQ)．由对数运算性质得(P－2Q)2＝

PQ，即 P2－5PQ＋4Q2＝0，所以 P＝Q(舍去)或P＝4Q，解得＝4.故选 B.

【例 3】．若lg 2，lg(2x＋1)，lg(2x＋5)成等差数列，则 x的值等于(　　)

A．1 B．0或

C. D．log23

【答案】D.

【解析】：由题意知 lg 2＋lg(2x＋5)＝2lg(2x＋1)，2(2x＋5)＝(2x＋1)2，(2x)2－9＝0，2x＝3，x＝log23，故选

题型二对数函数的图象及应用

【题型要点】1．对数函数的图象与性质

a>1 0<a<1

图象

性质

定义域：(0，＋∞)

值域：R

过定点(1，0)

当x>1 时，y>0

当0<x<1 时，y<0

当x>1 时，y<0

当0<x<1 时，y>0

在(0，＋∞)上是增函数在(0，＋∞)上是减函数

2.反函数

指数函数 y＝ax与对数函数 y＝logax互为反函数，它们的图象关于直线 y＝x对称．

3.对数函数图象的特点

(1)当a>1 时，对数函数的图象呈上升趋势；当 0<a<1 时，对数函数的图象呈下降趋势．

(2)对数函数 y＝logax(a>0，且 a≠1)的图象过定点(1，0)，且过点(a，1)，

(

a,−1

)

，函数图象只在第一、四

象限．

(3)在直线 x＝1的右侧：当 a>1 时，底数越大，图象越靠近 x轴；当 0<a<1 时，底数越小，图象越靠近 x轴，

即“底大图低”．

【例 1】函数 f(x)＝lg 的大致图象是(　　)

【答案】 D

【解析】 f(x)＝lg＝－lg|x＋1|的图象可由偶函数 y＝－lg|x|的图象左移 1个单位得到．由 y＝－lg|x|的图象可

知D项正确．

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