专题2.6 指数与指数函数（原卷版）

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2021 年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 2.6 指数与指数函数

一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1

题型一指数幂的化简与求值..............................................................................................................................1

题型二指数函数的图象及应用..........................................................................................................................2

题型三指数函数的性质及应用..........................................................................................................................3

命题角度一　比较指数幂的大小................................................................................................................3

命题角度二　解简单的指数方程或不等式................................................................................................4

命题角度三　研究指数型函数的性质........................................................................................................5

题型四　换元法求解指数型函数的有关问题....................................................................................................6

二、高效训练突破.........................................................................................................................................................7

一、题型全归纳

题型一指数幂的化简与求值

【题型要点】

【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．

【例 1】计算：(1)

(

-3 3

)

−2

＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；

(2)(a>0，b>0)．

题型二指数函数的图象及应用

【题型要点】1.指数函数图象的画法及应用

(1)画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，

(

−1,1

)

(2)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点判断所给图象是否过这些点，若不满足则排除．

(3)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其

图象，特别地，当底数 a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．

(4)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解

2．指数函数的图象与底数大小的比较

如图是指数函数① y＝ax，② y＝bx，③ y＝cx，④ y＝dx的图象，底数 a，b，c，d与1之间的大小关系为

c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．

【例 1】(2020·河北武邑中学调研)函数 y＝e－|x－1|的大致图象是(　　)

【例 2】．若直线 y＝2a与函数 y＝|ax－1|(a>0 且a≠1)的图象有两个公共点，则 a的取值范围是．

题型三指数函数的性质及应用

命题角度一　比较指数幂的大小

【题型要点】比较指数幂大小的常用方法

一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽

可能化同底．

二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是 0，1)比较大小，然后得

出大小关系．

三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．

【例 1】(2020·陕西榆林一中模拟)已知 a＝

(

)

，b＝2，c＝

(

)

，则下列关系式中正确的是(　　)

A．c<a<b B．b<a<c

C．a<c<b D．a<b<c

【例 2】已知 a，b∈(0，1)∪(1，＋∞)，当 x>0 时，1<bx<ax，则(　　)

A．0<b<a<1 B．0<a<b<1

C．1<b<a D．1<a<b

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