专题2.6 指数与指数函数（解析版）

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2021 年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破
专题 2.6 指数与指数函数
目录
一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1
题型一 指数幂的化简与求值..............................................................................................................................1
题型二 指数函数的图象及应用..........................................................................................................................2
题型三 指数函数的性质及应用..........................................................................................................................3
命题角度一　比较指数幂的大小................................................................................................................3
命题角度二　解简单的指数方程或不等式................................................................................................4
命题角度三　研究指数型函数的性质........................................................................................................5
题型四　换元法求解指数型函数的有关问题....................................................................................................6
二、高效训练突破.........................................................................................................................................................7
一、题型全归纳
题型一 指数幂的化简与求值
【题型要点】
【提醒】运算结果不能同时含有根号和分数指数幂，也不能既有分母又含有负指数，形式力求统一．
1
【例 1】计算：(1)
(
-3 3
8
)
−2
3
＋(0.002)－－10(－2)－1＋(－)0；
(2)(a>0，b>0)．
【答案】（1）－
；
（2）ab－1
【解析】　(1)原式＝(－1)－×
(
-3 3
8
)
−2
3
＋
(
1
500
)
−2
3
－＋1＝
(
27
8
)
−2
3
＋500－10(＋2)＋1＝＋10－10－20＋1
＝－.
(2)原式＝＝a＋－1＋·b1＋－2－＝ab－1.
题型二 指数函数的图象及应用
【题型要点】1.指数函数图象的画法及应用
(1)画指数函数 y＝ax(a>0，且 a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，
(
−1,1
a
)
.
(2)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点判断所给图象是否过这些点，若不满足则排除．
(3)与指数函数有关的函数图象的研究，往往利用最基本的指数函数的图象，通过平移、对称变换，得到其
图象，特别地，当底数 a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．
(4)一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解
2．指数函数的图象与底数大小的比较
如图是指数函数① y＝ax，② y＝bx，③ y＝cx，④ y＝dx的图象，底数 a，b，c，d与1之间的大小关系为
c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数 y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大．
【例 1】(2020·河北武邑中学调研)函数 y＝e－|x－1|的大致图象是(　　)
2
【答案】B.
【解析】：因为－|x－1|≤0，所以 0<e－|x－1|≤e0，即 0<y＝e－|x－1|≤1，故选 B.
【例 2】．若直线 y＝2a与函数 y＝|ax－1|(a>0 且a≠1)的图象有两个公共点，则 a的取值范围是 ．
【答案】：
(
0，1
2
)
【解析】：(1)当0<a<1 时，y＝|ax－1|的图象如图①.因为 y＝2a与y＝|ax－1|的图象有两个交点，所以
0<2a<1，所以 0<a<.
(2)当a>1 时，y＝|ax－1|的图象如图②，而 y＝2a>1 不可能与 y＝|ax－1|有两个交点．综上，0<a<.
题型三 指数函数的性质及应用
命题角度一　比较指数幂的大小
【题型要点】比较指数幂大小的常用方法
一是单调性法，不同底的指数函数化同底后就可以应用指数函数的单调性比较大小，所以能够化同底的尽
可能化同底．
二是取中间值法，不同底、不同指数的指数函数比较大小时，先与中间值(特别是 0，1)比较大小，然后得
出大小关系．
三是图解法，根据指数函数的特征，在同一平面直角坐标系中作出它们的函数图象，借助图象比较大小．
3
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