专题2.6 平面解析几何--《2021届高三数学（浙江）三轮复习专题突破》第二篇 清查易错防遗漏 【教师版】

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专题 2.6 平面解析几何
1．忽视直线斜率不存在的情况而失解
讨论两条直线的位置关系时，首先要注意对斜率是否存在进行讨论，其次要注意对系数是否为零进行
讨论．在求解直线方程时，有时也忽略斜率不存在的情况．研究直线与圆、直线与圆 锥曲线的位置关系问
题，往往易忽视直线的斜率不存在或斜率为 0 的情况而导致失解．
例 1．（2021·广西玉林市·高三其他模拟（理））过点 的直线 与圆 相切，则直线
的方程为（ ）
A．B．
C． 或 D． 或
【答案】C
【解析】
当 斜率不存在时可知满足题意；当 斜率存在时，设其方程为 ，利用圆心到直线距离等
于半径可构造方程求得 ，由此可得切线方程.
【详解】
当过 的直线 斜率不存在时，方程为 ，与圆 相切，满足题意；
当过 的直线 斜率存在时，设方程为 ，即 ，
圆 的圆心到 的距离 ，解得： ，
，即 ；
1
直线 的方程为 或 .
故选：C.
点评：本题考查过圆外一点的圆的切线方程的求解，解决此类问题采用待定系数法，利用圆心到直线距离
等于半径来进行求解；易错点是忽略切线斜率不存在的情况，造成丢根的情况出现.在设直线方程时，需要
考虑直线的斜率是否存在，可分两类情况分别求解．
例2.（2021·浙江高一期末）已知椭圆 的离心率为 ，且过点 ．
（1）求 C的方程；
（2）点 M，N在C上，且 ，D为垂足，问是否存在定点 Q，使得 为定值，若
存在，求出 Q点，若不存在，请说明理由．
【答案】（1） ；（2）存在，答案见解析.
【解析】
（1）由题意得到关于 的方程组，求解方程组即可确定椭圆方程；
（2）设出点 ， 的坐标，在斜率存在时设方程为 , 联立直线方程与椭圆方程，根据已知条
件，已得到 的关系，进而得直线 恒过定点，在直线斜率不存在时要单独验证，然后结合直角三角
形的性质即可确定满足题意的点 的位置.
【详解】
（1）由题意可得： ，解得： ，
2
故椭圆方程为： .
(2)设点 ，
若直线 斜率存在时，设直线 的方程为： ，
代入椭圆方程消去 并整理得： ，
可得 ， ，
因为 ，所以 ，即 ，
根据 ,代入整理可得：
，
所以 ，
整理化简得 ，
因为 不在直线 上，所以 ，
故 ，所以 ，
于是 的方程为 ，
所以直线过定点直线过定点 ，
当直线 的斜率不存在时，可得 ，
由 得： ，
3
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