专题2.6 概率与统计-随机变量及其分布（解析版）

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专题 2.6 概率与统计-随机变量及其分布
1．求解离散型随机变量 的数学期望与方差的一般步骤：
（1）分析随机变量 的可取值 ；
（2）计算随机变量 取不同值时对应的概率 ；
（3）由期望和方差的计算公式，求得数学期望 ；．
（4）若随机变量 的分布列为特殊分布列（如：两点分布、二项分布、超几何分布）
可利用特殊分布列的期望和方差的公式求解．
2．求离散型随机变量的分布列的关键是求随机变量所取值对应的概率，在求解时，要注意
应用计数原理、古典概型等知识的运用．
3．计算时要细心，写出分布列后注意根据概率和为 1进行检验．
1．某商场为吸引客源推出了为期三天的优惠活动，全场购物每满 1000 元减 300 元，即一
次 购 物 总 金 额 （ 未 享 受 优 惠 前 ） 为 元 ， 若 ， 付 款 时 无 优 惠 ； 若
，付款时优惠 300 元；若 ，付款时优惠 600 元……以此
类推．某机构在该商场门口随机采访了 位购物的顾客，统计他们的购物金额如下表所
示，并将购物总金额低于 元的顾客称为“理性购物者”，购物总金额不低于 元
的顾客称为“非理性购物者”．
理性购物者 非理性购物者 合计
男性 40 10 50
女性 25 25 50
合计 65 35 100
1
（1）能否在犯错误的概率不超过 的前提下认为是否为“理性购物者”与性别有关？
（2）设甲、乙两名“非理性购物者”相互独立地来此商场购物，甲、乙两位顾客的购物总
金额（单位：元）在 内的概率分别为 ， ，在 内的概率分别
为 ， ．设甲、乙两位顾客付款时的优惠金额之和为随机变量 ，求 的分布列与数
学期望．
参考公式及数据： ，其中 ．
【试题来源】数学-学科网 2021 年高三 3月大联考（山东卷）
【分析】（1）计算出卡方值，和 6．635 比较即可得出结论；
（2）由题可得 的所有可能取值为 ， ， ，计算出 取不同值时的概率，
即可写出分布列，求出期望．
【解析】（1）由题可得 的观测值 ，
所以在犯错误的概率不超过 的前提下，能认为“理性购物者”与性别有关．
（2）由题可得，购物总金额在 内，优惠 元，购物总金额在
内，优惠 元，
2
则随机变量 的所有可能取值为 ， ， ，
且 ， ，
，所以 的分布列为
所以 ．
2．某用人单位在一次招聘考试中，考试卷上有 ， ， 三道不同的题，现甲、乙两人
同时去参加应聘考试，他们考相同的试卷已知甲考生对 ， ， 三道题中的每一题能解
出的概率都是 ，乙考生对 ， ， 三道题能解出的概率分别是 ， ， ，且甲、
乙两人解题互不干扰，各人对每道题是否能解出是相互独立的．
（1）求甲至少能解出两道题的概率；
（2）设 表示乙在考试中能解出题的道数，求 的数学期望；
（3）按照“考试中平均能解出题数多”的择优录取原则，如果甲、乙两人只能有一人被录
取，你认为谁应该被录取，请说出理由．
【试题来源】全国百强名校“领军考试”2020-2021 学年下学期 4月高三（理）
【分析】（1）依题意直接求出概率；（2）由题意知 的所有可能取值为 ， ， ， ．
分别求出各自的概率，最终算出数学期望；（3）求出甲数学期望，根据甲、乙两人的期望
判断．
【解析】（1）依题意，甲至少能解出两道题的概率 ．
（2） 由 题 意 知 ， 的 所 有 可 能 取 值 为 ， ， ， ． 则
3
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