专题2.5 数列与数学归纳法--《2021届高三数学（浙江）三轮复习专题突破》第二篇 清查易错防遗漏 【原卷版】

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专题 2.5 数列与数学归纳法
1.求数列通项忽视检验首项致错
在求数列通项公式时，不论用递推公式还是用数列的前
n
项和公式，都 应该检验首项是否适合
例 1.（2020·北京海淀区·人大附中高三期中）数列 的前 项和为 ，且 ， ，
．则 ______；______.
点评：本题考查求数列的通项公式及等比数列求和公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由 与 的
关系求通项公式，当 时， ，一定要验证当 时是否满足；（2）累加法；（3）累
乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于易错题.
例 2.( 2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列 的前 项和为 ，且 ，在正项
等比数列 中 ， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和．
点评：由
n n
S a和
的关系求通项的注意问题：(1)应重视分类讨论的思想,分 n＝1 和 n≥2 两种情况讨论．当
n＝1 时,
1
a
不适合
n
a
的情况要分开写,即
n
a
1
, 1
, 2
n
n n
s n
s s n
 
＝
(2)要注意
n
a
和
n
S
互化具有双向性,既 可由
n
a
化为
n
S
,也可由
n
S
求
n
a
.
2.求解等差（比）数列有关问题时，忽略
0d
或
1q
造成错误
1
用基本量法求等差数列或等比数列有关的问题时忽略
0d
或
1q
而造成求解不全导致错误.
例 3.已知等差数列
}{
n
a
满足：
2
1
a
，且
1
a
、
2
a
、
5
a
成等比数列.
（1）求数列
}{
n
a
的通项公式.（2）记
n
S
为数列
}{
n
a
的前
n
项和，是否存在正整数
n
，使得
?80060 nS
n
若存在，求
n
的最小值；若不存在，说明理由.
点评：本题求解第（1）问，在解方程
2
(2 ) 2(2 4 )d d  
时，容易丢掉
0d
这一结果，导致数列
 
n
a
的通项公式缺一种结果.
3.应用等差数列与等比数列性质不当
综合应用等差数列、数列等比数列性质时，因记不准性质或性质混用导致错误.
例 4.若等差数列
 
n
a
满足
7 8 9 7 10
0, 0a a a a a 
，则当
n
__________时，
 
n
a
的前
n
项和最大．
点评：等差、等比数列的性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便
的工具，应有意识地去应用.但在应用性质时要注意性质的前提条件，有时需要进行适当变形. 在解决等
差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法.
4.用错位相减法求和时弄不清等比数列项数导致错误
错位相减法求和是等比数列求和的基本思想 ，学生在应用时，做到两式相减后时，弄不清楚相减后的
式了中等比数列的项数导致求和出错.
例 5．（2020·山东高三期中）已知数列 的前 项和 满足 且 ．
（1）求数列 的通项公式；
（2）设 ，数列 的前 项和 ，求证 ．
点评：“错位相减法”求数列的和是重点也是难点,利用“错位相减法”求数列的和应注意以下几点：①
掌握运用“错位相减法”求数列的和的条件（如果数列
{ }
n
a
是等差数列，
{ }
n
b
是等比数列，求数列
{ }•
n n
a b
的前 n 项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列
{ }
n
b
的公比，然后作差
求解．）；
Sn
q Sn
Sn−q Sn
②在写出“”与“” 的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准
2
确写出“”的表达式,相减时注意最后一项 的符号；③求和时注意项数别出错；④最后结果一定不能忘记
等式两边同时除以
1q
.
5.周期数列的周期判断失误
有的数列是呈周期性变化的，在求这类数列通项或求和问题时，常因判断不准数列的周期或数列的项
数与通项的关系致错.
例 5.（2019·合肥一六八中学高一期末）已知数列 满足： ，
，则数列 的前 项的和 _______.
点评：解决数列周期性问题的方法：先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性
求值．解答此类问题，常因为判断不清数列的周期性或项数出错. 解题关键是确定数列的周期性．方法采
取的是从特殊到一般，猜想与证明．
6. 应用数学归纳法忽视推理基础或不应用归纳假设致误
1.数学归纳法：证明一个与正整数 n 有关的命题，可按下列步骤进行：
(1)(归纳奠基)证明当 n 取第一个值 n0(n0∈N*)
时命题成立．
(2)(归纳递推)假设 n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当 n=k+1
时命题也成立．
只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数 n 都成立．
2.数学归纳法的框图表示：
3.应用数学归纳法过程中，常见错误有两种，一是忽视递推基础，二是不应用归纳假设，即对数学归纳法
两步缺一不可重视不够，或对数学归纳法证明原理理解有误.
例6.（2020·浙江省桐庐中学高三月考）数列 满足 ， ，则以下说
法正确的个数（ ）
 
n
a
 
2 *
1n n n
a a a n N
 
1
1
0, 2
a 
 
 
3
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