专题2.5 数列与数学归纳法--《2021届高三数学（浙江）三轮复习专题突破》第二篇 清查易错防遗漏 【教师版】

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专题 2.5 数列与数学归纳法
1.求数列通项忽视检验首项致错
在求数列通项公式时，不论用递推公式还是用数列的前
n
项和公式，都 应该检验首项是否适合
例 1.（2020·北京海淀区·人大附中高三期中）数列 的前 项和为 ，且 ， ，
．则 ______；______.
【答案】6
【解析】
由已知当 时， ，结合已知条件知 ，验证 时不满足，得到数列 的通项公
式为 ，进而求得 ，再利用等比数列求和公式可求得 .
【详解】
由 知，当 时，
两式作差得： ，即 ，即 ；
又 ， ，不符合上式，故数列 去掉第一项是公比为 3的等比数列，
所以数列 的通项公式为
所以当 时，
1
故答案为：6，
点评：本题考查求数列的通项公式及等比数列求和公式，求数列通项公式常用的方法：（1）由 与 的
关系求通项公式，当 时， ，一定要验证当 时是否满足；（2）累加法；（3）累
乘法；（4）两边取到数，构造新数列法，考查学生的逻辑推理能力与运算求解能力，属于易错题.
例 2.( 2020 届山东省潍坊市高三上学期统考）设数列 的前 项和为 ，且 ，在正项
等比数列 中 ， ．
（1）求 和 的通项公式；
（2）设 ，求数列 的前 项和．
【答案】（1） ， （2）
【解析】
（1）当 时， ，
当 时，
=
= ，
所以 ．
所以 ，
2
于是 ，解得 或 （舍）
所以 = ．
（2）由以上结论可得，
所以其前 n 项和
=
=
- 得， =
=
所以 = ．
点评：由 的关系求通项的注意问题：(1)应重视分类讨论的思想,分 n＝1 和 n≥2 两种情况讨论．当
n＝1 时, 不适合 的情况要分开写,即
(2)要注意 和 互化具有双向性,既 可由 化为 ,也可由 求 .
2.求解等差（比）数列有关问题时，忽略
0d
或
1q
造成错误
用基本量法求等差数列或等比数列有关的问题时忽略
0d
或
1q
而造成求解不全导致错误.
例 3.已知等差数列
}{
n
a
满足：
2
1
a
，且
1
a
、
、
5
a
成等比数列.
（1）求数列
}{
n
a
的通项公式.（2）记
为数列
}{
n
a
的前
n
项和，是否存在正整数
n
，使得
?80060 nS
n
若存在，求
n
的最小值；若不存在，说明理由.
n n
S a和
1
a
n
a
n
a
1
, 1
, 2
n
n n
s n
s s n
 
＝
n
a
n
S
n
a
n
S
n
S
n
a
3
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