专题2.5 平面向量应用举例-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修4）

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第二章平面向量

2.5 平面向量应用举例

一、向量在平面几何中的应用

1．利用向量研究平面几何问题的思想

向量集数与形于一身，既有代数的抽象性又有几何的直观性，因此，用向量解决平面几何问题，就是

将几何的证明问题转化为__________的运算问题，将“证”转化为“算”，思路清晰，便于操作．

2．向量在平面几何中常见的应用

已知．

（1）证明线段平行、点共线问题及相似问题，常用向量共线的条件：

__________ ．

（2）证明线段垂直问题，如证明四边形是正方形、矩形，判断两直线（或线段）是否垂直等，常用向

量垂直的条件：

__________ （其中为非零向量）．

（3）求夹角问题，若向量与的夹角为，利用夹角公式：

__________ __________（其中为非零向量）．

（4）求线段的长度或说明线段相等，可以用向量的模：

__________，或 __________（其中两点的坐标分别为．

（5）对于有些平面几何问题，如载体是长方形、正方形、直角三角形等，常用向量的坐标法，建立平

面直角坐标系，把向量用坐标表示出来，通过代数运算解决综合问题．

3．利用向量解决平面几何问题的步骤

（1）建立平面几何与向量之间的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为

向量问题；

（2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题；

（3）把运算结果“翻译”成几何关系．

这其实也是用向量法解决其他问题的思路，即从条件出发，选取基底，把条件翻译成向量关系式（用

基底表示其他向量），然后通过一系列的向量运算，得到新的向量关系式，则这个新的向量关系式的

几何解释就是问题的结论．

二、向量在物理中的应用

向量是在物理的背景下建立起来的，物理中的一些量，如位移、力、速度（加速度）、功等都与向量

有着密切的联系，因此可以利用向量来解决物理中的问题．具体操作时，要注意将物理问题转化为向

量关系式，通过向量的运算来解决，最后用来解释物理现象．

1．向量与力

向量是既有__________又有__________的量，它们可以有共同的作用点，也可以没有共同的作用点，

但是力的三要素是大小、方向和作用点，所以用向量知识解决力的问题，通常要把向量__________到

同一作用点上．

2．向量与速度、加速度及位移

速度、加速度与位移的合成与分解，实质上就是向量的加减法运算．解决速度、加速度和位移等问题

时，常用的知识主要是向量的__________、__________以及__________运算，有时也借助于坐标运算

来处理．

3．向量与功、动量

力做的功是力在物体前进方向上的分力与物体位移的乘积，实质是力和位移两个向量的__________，

为和的夹角）．

动量实际上是__________向量．

一、1．向量

2．（1）（2）

（3）（4）

二、1．大小方向平移

2．加法减法数乘

3．数量积数乘

帮—重点平面几何中的垂直、长度以及夹角问题．

帮—难点利用向量方法解决实际问题．

帮—易错

向量应用中对向量关系式表达的向量之间的相互关系判断错

误．

1．平面几何中的垂直问题

对于线段垂直问题，可以联想到两个向量垂直的条件（向量的数量积为 0），而对于这一条件的应用，

可以考虑向量关系式的形式，也可以考虑坐标的形式．

如图，在正方形 ABCD 中，E，F分别是 AB，BC 的中点，求证：AF⊥DE．

【答案】证明详见解析．

【解析】方法一设，则，

又，

所以．

故，即 AF⊥DE．

例 1

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