专题2.5 二次函数与幂函数（解析版）

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2021 年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 2.5 二次函数与幂函数

一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1

题型一幂函数的图象及性质(.............................................................................................................................1

题型二求二次函数的解析式..............................................................................................................................2

题型三二次函数的图象与性质..........................................................................................................................4

命题角度一　二次函数图象的识别问题....................................................................................................4

命题角度二　二次函数的单调性及最值问题............................................................................................4

命题角度三　一元二次不等式恒成立问题................................................................................................5

题型四分类讨论思想在二次函数问题中的应用............................................................................................6

二、高效训练突破.........................................................................................................................................................8

一、题型全归纳

题型一幂函数的图象及性质

【题型要点】1．巧识幂函数的图象和性质

2.幂函数的图象与性质问题的解题策略

(1)关于图象辨识问题，关键是熟悉各类幂函数的图象特征，如过特殊点、凹凸性等．

(2)关于比较幂值大小问题，结合幂值的特点利用指数幂的运算性质化成同指数幂，选择适当的幂函数，借

助其单调性进行比较或应用．

(3)在解决幂函数与其他函数的图象的交点个数、对应方程根的个数及近似解等问题时，常用数形结合的思

想方法，即在同一坐标系下画出两函数的图象，数形结合求解．

【例 1】已知幂函数 y＝xm2－2m－3(m∈N*)的图象与 x轴、y轴没有交点，且关于 y轴对称，则 m的所有可能

取值为．

【答案】1，3

【解析】因为幂函数 y＝x m2－2m－3 (m∈N*)的图象与 x轴、y轴没有交点，且关于 y轴对称，所以 m2－2m－

3≤0 且m2－2m－3(m∈N*)为偶数．由 m2－2m－3≤0 得－1≤m≤3，又 m∈N*，所以 m＝1，2，3，当 m＝1时，

m2－2m－3＝1－2－3＝－4为偶数，符合题意；当 m＝2时，m2－2m－3＝4－4－3＝－3为奇数，不符合

题意；当 m＝3时，m2－2m－3＝9－6－3＝0为偶数，符合题意．综上所述，m＝1，3.

【例 2】幂函数 y＝f(x)的图象过点(4,2)，则幂函数 y＝f(x)的图象是(　　)

【答案】C

【解析】设幂函数的解析式为 y＝xα，因为幂函数 y＝f(x)的图象过点(4，2)，所以 2＝4α，解得 α＝，

所以 y＝，其定义域为[0，＋∞)，且是增函数，当 0<x<1 时，其图象在直线 y＝x的上方．故选 C.

题型二求二次函数的解析式

【题型要点】求二次函数解析式的方法

根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，但所给条件不同选取的求解方法也不同，选择

规律如下：

【例 1】已知二次函数 f(x)满足 f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且 f(x)的最大值是 8，试确定此二次函数的解析式．

【解析】解法一(利用一般式)：

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意得

解得所以所求二次函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.

解法二(利用顶点式)：

设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．因为 f(2)＝f(－1)，f(－1)＝－1，所以抛物线的对称轴为 x＝＝.所以 m＝.又根据

题意函数有最大值 8，所以 n＝8，所以 f(x)＝a

(

x−1

)

＋8.因为 f(2)＝－1，所以 a

(

x−1

)

＋8＝－1，解

得a＝－4，所以 f(x)＝－4

(

x−1

)

＋8＝－4x2＋4x＋7.

解法三(利用零点式)：

由已知得 f(x)＋1＝0的两根为 x1＝2，x2＝－1，

故可设 f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)，

即f(x)＝ax2－ax－2a－1.

又函数有最大值 8，即＝8.

解得 a＝－4或a＝0(舍去)，

所以所求函数的解析式为 f(x)＝－4x2＋4x＋7.

题型三二次函数的图象与性质

命题角度一　二次函数图象的识别问题

【题型要点】确定二次函数图象应关注的三个要点

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