专题2.4 数列-结构不良型（原卷版）

3.0 envi 2025-02-12 20 4 293.69KB 7 页 3知币

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专题 2.4 数列-结构不良型

1．等差、等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于

熟练掌握等差、等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数

列的前项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．

2．给出与的递推关系，求 an，常用思路是一是利用转化为 an的递推

关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与n之间的关系，再求

an．

3．求数列的前项和常见思路：

（1）对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；

（2）等差数列等比数列时，常采取分组求和法；

（3）等差数列等比数列时，常采取错位相减法；

（4）裂项相消法．用裂项相消法解题的关键步骤，①判断结构，即根据通项的结构，

看它是否可以裂项，能裂项就写出通项裂项后的表达式；②写出和式，即按通项裂项后

的表达式写出和式，看哪些项能相互抵消；③化简整理，即计算并整理和式，得到和式

的最简结果．

1．设数列的前项和为，在① ，② ，③

这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．

问题：已知数列满足，______，若数列是等比数列，求数列的通项

公式；若数列不是等比数列，说明理由．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

2．已知等差数列的前项和为．

（1）请从下面的三个条件中选择两个作为已知条件，求数列的通项公式；

① ；② ；③ ；

注：如果采用多种条件组合作答，则按第一个解答计分．

（2）在（1）的条件下，令，求数列的前项和．

3．已知各项均为正数的数列，其前 n项和为，数列为等差数列，满足

，．再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知，求解下列问题：

（1）求数列的通项公式和它的前 n项和；

（2）若对任意不等式恒成立，求 k的取值范围．

条件①

条件② ，当，，

注：如果选择条件①、条件②分别解答，按第一个解答计分．

4．已知有限数列共有 30 项，其中前 20 项成公差为的等差数列，后 11 项成公比为

的等比数列，记数列的前 n项和为．从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一

个作为已知，求：

（1）的值；

（2）数列中的最大项．

条件①：；

条件②：；

条件③：．

5．在① ，② ，③ ，这三个条件中任选一个，补充在下面试题

的空格处中并作答．

已知是公差不为的等差数列，其前项和为，若____，且、、成等比数

列．

（1）求数列的通项公式；

（2）设数列是各项均为正数的等比数列，且，，求数列的前

项和．

6．已知数列{an}是递增的等比数列，前 3项和为 13，且 a1＋3，3a2，a3＋5成等差数列．

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）数列{bn}的首项 b1＝1，其前 n项和为 Sn，且，若数列{cn}满足 cn＝anbn，{cn}

的前 n项和为 Tn，求 Tn的最小值．

在如下三个条件中任意选择一个，填入上面横线处，并根据题意解决问题．

①3Sn＋bn＝4；② bn＝bn

－

1＋2(n≥2)；③ 5bn＝－bn

－

1(n≥2)．

7．在① ；② ；③ ，，．这三个条

件中任选一个，补充在下面问题中，并解决该问题．

问题：已知数列满足______（），若，求数列的前项

和．

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