专题2.4 数列-结构不良型（解析版）

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专题 2.4 数 列-结构不良型
1．等差、等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于
熟练掌握等差、等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数
列的前 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程．
2．给出 与 的递推关系，求 an，常用思路是一是利用 转化为 an的递推
关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与n之间的关系，再求
an．
3．求数列的前 项和常见思路：
（1）对于等差和等比数列，直接结合求和公式求解；
（2）等差数列 等比数列时，常采取分组求和法；
（3）等差数列 等比数列时，常采取错位相减法；
（4）裂项相消法．用裂项相消法解题的关键步骤，①判断结构，即根据通项的结构，
看它是否可以裂项，能裂项就写出通项裂项后的表达式；②写出和式，即按通项裂项后
的表达式写出和式，看哪些项能相互抵消；③化简整理，即计算并整理和式，得到和式
的最简结果．
1．设数列 的前 项和为 ，在① ，② ，③
这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并加以解答．
问题：已知数列 满足 ，______，若数列 是等比数列，求数列 的通项
公式；若数列 不是等比数列，说明理由．
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】2021 届普通高等学校招生全国统一考试数学考向卷（四）
【答案】答案不唯一，具体见解析
1
【分析】若选①，利用 化简得 ，得
， 从 而 可 作 出 判 断 ； 若 选 ② ， 利 用 可 得
，从而有数列 是首项为 1，公比为 3的等比数列；若选③，先求出 ，然
后可得 ，再利用 得 ，从而可判断数列 是
首项为 1，公比为 2的等比数列，
【解析】若选①： ，则当 时， ，
两式相减，得 ，即 ，结合 ，可知
，所以 ．
由 ，得 ，即 ，
故数列 不是等比数列．
若选②： ，由 ，得 ，即 ，于是 ，
当 时， ，两式相减得 ，即 ，
所以数列 是首项为 1，公比为 3的等比数列，因此 ．
若选③： ，由 ，得 ，
2
当 时， ，两式相减得 ，即 ，
所以数列 是首项为 1，公比为 2的等比数列，因此 ．
2．已知等差数列 的前 项和为 ．
（1）请从下面的三个条件中选择两个作为已知条件，求数列 的通项公式；
① ；② ；③ ；
注：如果采用多种条件组合作答，则按第一个解答计分．
（2）在（1）的条件下，令 ，求数列 的前 项和 ．
【试题来源】黑龙江省大庆市 2021 届高三第一次教学质量检测（一模）
【答案】（1） ；（2） ．
【分析】（1）根据所选条件，得出方程组，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1）可得 ，即可得到数列 为等比数列，再利用等比数列求和公式
计算可得；
【解析】（1）选择条件①②，①③，②③对应的基本量如下：
由 ，即
由 ，即
由 ，即 解得 ，所以 ．
（2） ．因为 ，
所以数列 是以 为首项， 为公比的等比数列，
3
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