专题2.4 平面向量的数量积-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修4）

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第二章 平面向量
2.4 平面向量的数量积
一、平面向量数量积的物理背景及其含义
1．平面向量数量积的物理背景
物理中的功是一个与力及这个力作用下的物体产生的位移有关的量，并且这个量是一个标量，即：
如果一个物体在力 的作用下产生位移 ，那么力 所做的功 ，其中 θ为
力 与位移 之间的夹角．而力与位移都是矢量，这说明两个______________也可以进行运算．
2．平面向量数量积的概念
（1）数量积的概念
已知两个非零向量 ，我们把数量 叫做向量 与 的______________(inner product)(或
内积)，记作 ，即 ______________，其中 θ是 与 的夹角．
我们规定，零向量与任一向量的数量积为 0．
（2）投影的概念
设非零向量 与 的夹角是 θ，则 ( )叫做向量 在 方向上(在 方向上)的______
________(projection)．
如图（1）（2）（3）所示，分别是非零向量 与 的夹角为锐角、钝角、直角时向量 在 方向上的
投影的情形，其中 _________，它的意义是，向量 在向量 方向上的投影长是向量 的长
度．
1
（3）数量积的几何意义
由向量投影的定义，我们可以得到 的几何意义：数量积 等于 的长度 与 在 方向上的
投影 的______________．
3．平面向量数量积的性质与运算律
（1）平面向量数量积的性质
由向量数量积的定义，设 都是非零向量，则有：
①______________；
② 或 ；
③ 当 与 同向时， ；当 与 反向时， ______________；
④ ，其中 是非零向量 与 的夹角；
⑤ ，当且仅当向量 共线，即 时等号成立．
（2）平面向量数量积的运算律
由于数量积是完全不同于数与向量乘法的一种运算，并且这种运算涉及长度、角度等的运算，因此有
如下三条运算律：
已知向量 和实数 ，则
① 交换律： ；
② 数乘结合律： ______________；
2
③ 分配律： ．
（3）两个结论
① ；
②______________．
二、平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
1．平面向量数量积的坐标表示
在平面直角坐标系中，设 分别是 x轴，y轴上的单位向量．由于向量 分别
等价于 ，根据向量数量积的运算，有
， 由 于 为 正 交 单 位 向 量 ， 故 ， ， 从 而
．即 ____________，其含义是：两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积
的____________．
2．平面向量的模的坐标表示
（1）平面向量的模的坐标公式
若向量 ，由于 ，所以 ______________．
其含义是：向量的模等于向量坐标平方和的算术平方根．
（2）平面内两点间的距离公式
已知原点 ，点 ，则 ，
于是 ______________．
其含义是：向量 的模等于 A，B两点之间的距离．
3．平面向量垂直的坐标表示
3
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