专题2.4 平面向量、复数--《2021届高三数学（浙江）三轮复习专题突破》第二篇 清查易错防遗漏 【原卷版】

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专题 2.4 平面向量、复数
1.平面向量的概念与运算致误
向量的运算有加、减、数乘及数量积，特别是数量积的运算，由于数量积不满足结合律与消去律，若
在计算的过程中不加特别注意，就会出现错误．像零向量、单位向量等概念，要理解到位，注意它们的
特点.
例 1.（2021·天津滨海新区·高三期末）已知平行四边形 的两条对角线相交于点 ， ，
， ，其中点 在线段 上且满足 ， ______，若点 是线段
上的动点，则 的最小值为______.
点评：本题考查平面向量的线性运算和数量积运算的实际应用，解题的关键在于利用二次函数的性质求最
值，考查转化思想和运算能力.
2.平面向量夹角的构成、平面向量模与夹角的范围
1.解题过程中要注意，一是对于
0,
不谈它与其它向量的夹角问题；二是在三角形中研究向量的夹角时，必
须把两个向量平移到同一个起点.如：
AACAB ,
但是
BBCAB ,
BBCAB 
,
；
三是平面向量的夹角范围是
[0, ]
.另外不要认为
a
与
b
的夹角为钝角（锐角） ，即要注意
夹角为 的特殊情况.
2.求向量的模一般有两种方法，方法一：利用
2
| |a a
 
求解；方法二：利用
2 2
a x y 
求解.解题过
程中问题的转化容易出错，再就是在审题上容易出现错误．
1
3.求两个向量的夹角一般有两种方法：方法一：
cos , a b
a b
a b
 
              
 
 
；方法二：设
a
=
1 1
( , )x y
,
b
=
2 2
( , )x y
，
为向量
a
与
b
的夹角，则
1 2 1 2
2 2 2 2
1 1 2 2
cos x x y y
x y x y
 
例 2. （2020·浙江杭州市·高一期末）已知平面向量 ，其中 ， 的夹角是 ，则
____________；若 为任意实数，则 的最小值为____________．
点评：求平面向量的模的 2种方法：
1、利用 及 ，把向量模的运算转化为数量积的运算；
2、利用向量的几何意义，即利用向量加、减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用余弦定
理等方法求解.
例 3.（2020·浙江高三月考）已知 为单位向量，满足 ，若 ，则
的夹角的最大值是________， 在 上的投影的最小值为________．
点评：（1）
2 2
2
| | | |a a a a 
 
和
是平面向量求模非常重要的两个公式，要注意灵活运用.（2）利用公式
cos , a b
a b
a b
 
 
 
求解时，要先求
a b
 
，
| |,| |a b
 
这些基本量，再代入公式.
例 4.已知△
ABC
是边长为 3 的等边三角形，点
P
是以
A
为圆心的单位圆上一动点，点
Q
满足
,则 的最小值是________.
点评：本题考查了向量的坐标运算、向量的模长公式以及三角函数的应用，“配角”是解题的关键. 以 A
为原点，平行于 CB 的直线为 x 轴，这样便可建立坐标系，然后便可根据条件确定出 C，B 点的坐标，并根
2
据题意设 ，从而得到 的坐标，用 表示 转化成三角函数问题，即可求得最小值．
例 5．已知 且 .若点
C
满足 ,则 的取值范围是________．
点评：本题考查平面向量的坐标表示，考查了平面向量的数量积以及原点到圆上点的距离问题，恰当的建
立坐标系是解题的关键，考查了运算和推理能力.由 可求出夹角，建立平面直角坐标系，再设
出 A,B 的坐标，求得 ，明确点 C 在以 D 为圆心，以 1 为半径的圆上.
3.平面向量的应用
利用平面向量，可以解决平面几何、解析几何中的垂直、平行、距离及夹角问题，解题过程中通常
考虑一是几何法，二是坐标法，应充分利用数形结合思想. 如果已知中涉及直角三角形、等腰三角形、矩
形、正方形、菱形等，可以尝试建立直角坐标系，求向量的数量积.利用坐标法，正确建系是关键，否则
易于导致错解．
例6．（2020·河北高三期末（理））已知 外接圆半径为 1，圆心为 ，若 ，
则 面积的最大值为（ ）
A．2 B． C． D．1
点评：本题根据向量的线性运算,可判断出 为圆的直径.结合勾股定理及不等式即可求得面积的最大值.
对于向量的小题常用的方法有:数形结合法,建系的方法,见模平方的意识,基底化的意识.
例7.（2021·江西上饶市·高三一模（理））已知 的外心为 ， ， ， 分别为内角 ， ，
的对边， ，则 的最小值为_______.
点评：本题的关键是利用外心的性质，转化 ，利用 ，得
，化简向量的数量积.
例8.（浙江省2019 届高考模拟卷（二) ）设
A , B
是抛物线
x2=4y
上相异的两点，则
|
OA +
OB
|
2−
|
AB
|
2
的
3
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