专题2.4 函数性质的综合问题（解析版）

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2021 年高考文科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破
专题 2.4 函数性质的综合问题
目录
一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1
题型一 函数的奇偶性与单调性..........................................................................................................................1
题型二 函数的奇偶性与周期性..........................................................................................................................2
题型三 函数的综合性应用...................................................................................................................................3
题型四 函数性质中“三个二级”结论的灵活应用........................................................................................4
结论一、奇函数的最值性质........................................................................................................................4
结论二、抽象函数的周期性........................................................................................................................4
结论三、抽象函数的对称性........................................................................................................................5
二、高效训练突破.........................................................................................................................................................6
一、题型全归纳
题型一 函数的奇偶性与单调性
【题型要点】函数的单调性与奇偶性的综合问题解题思路
(1)解决比较大小、最值问题应充分利用奇函数在关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性，偶函数在
关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．
(2)解决不等式问题时一定要充分利用已知的条件，把已知不等式转化成 f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再根
据函数的奇偶性与单调性，列出不等式(组)，要注意函数定义域对参数的影响．
【例 1】已知函数 y＝f(x)是R上的偶函数，对任意 x1，x2∈(0，＋∞)，都有(x1－x2)·[f(x1)－f(x2)]<0.设a＝
ln，b＝(ln 3)2，c＝ln，则(　　)
1
A．f(a)>f(b)>f(c) B．f(b)>f(a)>f(c)
C．f(c)>f(a)>f(b) D．f(c)>f(b)>f(a)
【答案】　C
【解析】　由题意易知 f(x)在(0，＋∞)上是减函数，
又因为|a|＝ln 3>1，b＝(ln 3)2>|a|，0<c＝<|a|，
所以 f(c)>f(|a|)>f(b)．
又由题意知 f(a)＝f(|a|)，
所以 f(c)>f(a)>f(b)．故选 C.
题型二 函数的奇偶性与周期性
【题型要点】周期性与奇偶性结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行转换，将所求
函数值的自变量转化到已知解析式的定义域内求解．
【例 1】(2020·武昌区调研考试)已知 f(x)是定义域为 R的奇函数，且函数 y＝f(x－1)为偶函数，当 0≤x≤1 时，
f(x)＝x3，则
f
(
5
2
)
＝ ．
【答案】－
【解析】解法一：因为 f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以 f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所
以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝f(x)，即 f(x)的周期 T＝4，因为 0≤x≤1 时，f(x)＝x3，所以
f
(
5
2
)
＝
f
(
5
2
-4
)
＝
f
(
−3
2
)
＝
−f
(
3
2
)
＝
−f
(
1+1
2
)
＝
f
(
−1
2
)
＝
＝－.
解法二：因为 f(x)是R上的奇函数，y＝f(x－1)为偶函数，所以 f(x－1)＝f(－x－1)＝－f(x＋1)，所以 f(x＋2)
＝－f(x)，由题意知，当－1≤x<0 时，f(x)＝x3，故当－1≤x≤1 时，f(x)＝x3，当 1<x≤3 时，－1<x－2≤1，f(x)
＝－(x－2)3，所以
f
(
5
2
)
＝
−
(
5
2
-2
)
3
＝－.
2
题型三 函数的综合性应用
【题型要点】求解函数的综合性应用的策略
(1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一．特别注意“奇函数若在 x＝0处有定义，则一定有 f(0)＝
0；偶函数一定有 f(|x|)＝f(x)”在解题中的应用．
(2)解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和
单调性求解．
【例 1】(2020·陕西榆林一中模拟)已知偶函数 f(x)满足 f(x)＋f(2－x)＝0，现给出下列命题：①函数 f(x)是以
2为周期的周期函数；②函数 f(x)是以 4为周期的周期函数；③函数 f(x－1)为奇函数；④函数 f(x－3)为偶函
数，其中真命题的个数是(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】B
【解析】　偶函数 f(x)满足 f(x)＋f(2－x)＝0，
所以 f(－x)＝f(x)＝－f(2－x)，f(x＋2)＝－f(x)，
f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，可得 f(x)的最小正周期为 4，故①错误，②正确；
由f(x＋2)＝－f(x)，可得 f(x＋1)＝－f(x－1)．
又f(－x－1)＝f(x＋1)，所以 f(－x－1)＝－f(x－1)，故 f(x－1)为奇函数，③正确；
若f(x－3)为偶函数，则 f(x－3)＝f(－x－3)，
又f(－x－3)＝f(x＋3)，
所以 f(x＋3)＝f(x－3)，即 f(x＋6)＝f(x)，可得 6为f(x)的周期，这与 4为最小正周期矛盾，故④错误，故选
B.
3
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