专题2.3 数列-常规型（解析版）

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专题 2.3 数列-常规型

1．（1）等差（比）数列问题解决的基本方法：用公式进行基本量代换；

（2）数列求和的方法：公式法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法．

2．数列求和关键看通项的结构形式，如果通项是等差数列与等比数列的和，则用分组求和

法；如果通项是等差数列与等比数列的乘积，则用错位相减法；如果通项可以拆成一个

数列连续两项的差，那么用裂项相消法；如果通项的符号有规律的出现，则用并项求和

法．

3．一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前 n项和时，可

采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解，这

也是考查频率比较高的考查点．

1．已知正项等差数列的前项和为，若构成等比数列．

（1）求数列的通项公式．

（2）设数列的前项和为，求证：

【试题来源】二轮复习联考（一）2021 届高三

【答案】（1）；（2）证明见解析．

【分析】（1）由等差数列和等比数列的定义，即可求出通项公式．

（2）利用裂项相消法即可求出数列的和，进而利用不等式放缩即可证明结果．

【解析】（1）由为等差数列，得，则

又构成等比数列，所以，

即解得或 (舍)，所以；

（2）因为，

所以

2．已知为等差数列，为公比大于 0的等比数列，且，，，

．

（1）求和的通项公式；

（2）记，数列的前项和为，求．

【试题来源】天津市部分区 2021 届高三下学期质量调查（一）

【答案】（1），；（2）．

【分析】（1）求出的公差和的公比后可得和的通项公式．

（2）利用错位相减法可求．

【解析】（1）设的公差为，的公比为，

则，解得或（舍），故．

又，故，故．

（2），

故，

所以，

所以

，

故．

3．已知{an}为等差数列，各项都为正数的等比数列{bn}的前 n项和为 Sn，且，

，，．

（1）求､的通项公式；

（2）求和．

【试题来源】陕西省西安市八校 2020-2021 学年高三上学期第一次联考

【答案】（1）an=2n；bn=3n，n∈N*；（2）2n2+4n．

【分析】（1）根据等差等比数列的通项公式及求和公式列出方程组求解即可；

（2）变形后根据等差数列的求和公式求和即可．

【解析】（1）设等差数列{an}的公差为 d，等比数列{bn}的公比为 q，q>0，

由b1=3，S3=39，a1=b27﹣，a40=b41﹣，可得 3+3q+3q2=39，a1=3q7﹣，a1+39d=3q31﹣，

解得 q=3，d=2，a1=2，

则an=2+2(n1)=2﹣n；bn=3•3n1﹣=3n，n∈N*；

（2）a1+2a2+2a3+……+2an+an+1=2(a1+a2+a3+……+an+an+1)﹣a1﹣an+1

=2• (n+1)(2+2n+2) 2 2(﹣ ﹣ n+1)=2n2+4n．

4．已知是等差数列，，，且，，是等比数列的

前3项．

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