专题2.3 平面向量的基本定理及坐标表示-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修4）

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第二章平面向量

2.3 平面向量的基本定理及坐标表示

1．平面向量基本定理

如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2．其中，__________的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组_________

_．

（1）基底 e1，e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底；

（2）若基底给定，则同一向量的分解形式唯一；

（3）如果对于一组基底 e1，e2，有 a=λ1e1+λ2e2=μ1e1+μ2e2，则可以得到．

2．两个向量的夹角

（1）向量夹角的几何表示

依据向量夹角的定义，两非零向量的夹角是将两个向量的起点移到同一点，这样它们所成的角才是两

向量的夹角．已知两向量 a，b，作 =a，=b，则__________为a与b的夹角．

（2）夹角范围

① 向量的夹角是针对非零向量定义的；

② 向量的夹角和直线的夹角范围是不同的，它们分别是__________和；

③ 当两向量方向相同时，夹角为__________，当方向相反时，夹角为__________．

3．平面向量运算的正交分解及坐标表示

（1）向量的分解

一个平面向量 a用一组基底 e1，e2表示成 a=λ1e1+λ2e2（λ1，λ2∈R）的形式，我们称之为向量的分解．

（2）向量的正交分解

把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量__________．这两个互相垂直的向量称为_______

___．

4．平面向量运算的坐标运算

运算坐标表示

和（差）

已知 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a+b=（x1+x2，y1+y2），a–b=（x1–x2，y1–

y2）．

数乘已知 a=（x1，y1），则 λa=（λx1，λy1），其中 λ是实数．

任一向量的

坐标

已知 A（x1，y1），B（x2，y2），则 =（x2–x1，y2–y1）．

（1）相等的向量坐标相同；

（2）向量的坐标与表示该向量的有向线段的端点无关，只与其相对位置有关．

5．平面向量共线的坐标表示

（1）如果 a=（x1，y1），b=（x2，y2），则 a∥b的充要条件为__________．

a∥b的充要条件不能表示成 =，因为 x2，y2有可能等于 0．

运用两向量共线的条件可求点的坐标，可证明三点共线以及平行；

（2）已知向量共线求参问题中，参数一般设置在两个位置：一是在向量坐标中；二是相关向量用已知

两向量的含参关系式表示．解题时应根据题目特点选择向量共线的坐标表示形式，建立方程（组）求

解；

（3）A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）三点共线的充要条件为

（x2–x1）（y3–y1）–（x3–x1）（y2–y1）=0，

或（x2–x1）（y3–y2）=（x3–x2）（y2–y1），

或（x3–x1）（y3–y2）=（x3–x2）（y3–y1）．

利用向量解决三点共线问题的思路：

先利用三点构造出两个向量，求出唯一确定的实数 λ使得两个向量共线，由于两向量过同一点，所以两

向量所在的直线必重合，即三点共线．

6．利用坐标解决几何问题

（1）在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的坐标运算

法则进行计算．

（2）在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标

得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求以原点为起点，该点为终点的向量的坐标．

（3）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点

在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标相同．

（4）进行平面向量坐标运算前，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系．

（5）图形中的几何关系要转化为代数的坐标运算．

1．不共线基底

2．（1）∠AOB （2）②[0，π] ③0 π

3．（2）正交分解正交基底

5．x1y2–x2y1=0

帮—重点

1．了解平面向量的基本定理及意义，能正确地运用平面向量的基本定理．

2．理解用坐标表示的平面向量共线的条件，会根据平面向量的坐标判断向量是否共

线．

3．掌握平面向量的坐标运算，能准确运用向量的加法减法、实数与向量的积的坐标

运算法则进行有关的运算．

帮—难点

掌握平面向量的正交分解及坐标表示，理解平面向量与坐标之间的对应关系，为用坐

标来进行向量的运算奠定基础．

帮—易错了解向量夹角、夹角的范围及向量垂直．

1．平面向量基本定理

如果 e1，e2是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a，有且只有一对实数

λ1，λ2，使 a=λ1e1+λ2e2．其中，不共线的向量 e1，e2叫作表示这一平面内所有向量的一组基底．

（1）基底的理解：

① 平面内的任何两个不共线的向量都可以作为这个平面的一组基底；

② 基底一旦确定，平面内任一向量用该基底表示的形式是唯一的．

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