专题2.3 函数的奇偶性及周期性（解析版）

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2021 年高考理科数学一轮复习：题型全归纳与高效训练突破

专题 2.3 函数的奇偶性及周期性

一、题型全归纳.............................................................................................................................................................1

题型一　判断函数的奇偶性..............................................................................................................................1

题型二奇函数、偶函数性质的应用..................................................................................................................3

题型三函数的周期性及应用..............................................................................................................................4

题型四　函数性质的综合应用............................................................................................................................6

命题角度一　单调性与奇偶性结合............................................................................................................6

命题角度二　周期性与奇偶性结合............................................................................................................6

命题角度三单调性、奇偶性和周期性结合..............................................................................................7

题型五奇偶函数的二级结论及应用..........................................................................................................................8

二、高效训练突破.........................................................................................................................................................9

一、题型全归纳

题型一　判断函数的奇偶性

【题型要点】

1．判断函数奇偶性的三种方法

(1)定义法

(2)图象法

(3)性质法：

设f(x)，g(x)的定义域分别是 D1，D2，那么在它们的公共定义域上：奇＋奇＝奇，奇×奇＝偶，偶＋偶＝偶，

偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．

【例 1】(2020·成都市高三阶段考试)已知 y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是(

)

①y＝f(|x|)；② y＝f(－x)；③ y＝xf(x)；④ y＝f(x)＋x.

A．①③ B．②③

C．①④ D．②④

【答案】D

【解析】因为 y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，所以 f(－x)＝－f(x)，由 f(|－x|)＝f(|x|)，知①是偶函数；由

f[－(－x)]＝f(x)＝－f(－x)，知②是奇函数；由 y＝f(x)是定义在 R上的奇函数，且 y＝x是定义在 R上的奇函

数，奇×奇＝偶，知③是偶函数；由 f(－x)＋(－x)＝－[f(x)＋x]，知④是奇函数．

【例 2】判断函数 f(x)＝的奇偶性

。

【解析】法一：图象法

画出函数 f(x)＝的图象如图所示，图象关于 y轴对称，故 f(x)为偶函数．

法二：定义法

易知函数 f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，

当x>0 时，f(x)＝x2－x，则当 x<0 时，－x>0，故 f(－x)＝x2＋x＝f(x)；当 x<0 时，f(x)＝x2＋x，则当 x>0 时，

－x<0，故 f(－x)＝x2－x＝f(x)，故原函数是偶函数．

法三：f(x)还可以写成 f(x)＝x2－|x|(x≠0)，故 f(x)为偶函数

题型二奇函数、偶函数性质的应用

【题型要点】函数奇偶性的应用

(1)求函数值：将待求值利用奇偶性转化为求已知解析式的区间上的函数值．

(2)求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知解析式的区间上，再利用奇偶性的定义求出．

(3)求解析式中的参数：利用待定系数法求解，根据 f(x)±f(－x)＝0得到关于参数的恒等式，由系数的对等性

或等式恒成立的条件得方程(组)，进而得出参数的值

(4)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在另一对称区间上的图象．

(5)求特殊值：利用奇函数的最大值与最小值之和为零可求一些特殊结构的函数值．

【注意】：对于定义域为 I的奇函数 f(x)，若 0∈I，则 f(0)＝0.　　　　　　　　　　　

【例 1】若f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax 是偶函数，则 a＝________.

【答案】－

【解析】解法一：因为 f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax 是偶函数，所以 f(－x)＝f(x)，所以 f(－x)＝ln (e－3x＋1)－ax＝ln

(

e3x+1

)

－ax＝ln

(

1+e3x

e3x

)

－ax＝ln (1＋e3x)－3x－ax＝ln (e3x＋1)＋ax，所以－3－a＝a，解得 a＝－.

解法二：函数 f(x)＝ln (e3x＋1)＋ax 为偶函数，故 f(－x)＝f(x)，

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