专题2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（精讲）-2022年新高考数学一轮复习学与练（原卷版）

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专题 2.3 二次函数与一元二次方程、不等式

【考纲要求】

1.一元二次不等式：

(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型.

(2)通过函数图像了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系.

(3)会解一元二次不等式.

2.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数.

3．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理、直观想象等核心数学素养.

【知识清单】

1．二次函数

(1)二次函数解析式的三种形式：

一般式：f(x)＝ax 2

＋ bx ＋ c ( a ≠ 0) .

顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为( m ， n ) .

零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.

(2)二次函数的图象和性质

解析式 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0) f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)

图象

定义域 (－∞，＋∞) (－∞，＋∞)

值域

单调性在上单调递减；

在上单调递增

在上单调递增；

在上单调递减

对称性函数的图象关于 x＝－对称

2.一元二次不等式的概念及形式

(1)概念：我们把只含有一个未知数，并且知数的最高次数是 2的不等式，称为一元二次不等式．

(2)形式：

①ax2＋bx＋c>0(a≠0)；

②ax2＋bx＋c≥0(a≠0)；

③ax2＋bx＋c<0(a≠0)；

④ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．

(3)一元二次不等式的解集的概念：

一般地，使某个一元二次不等式成立的 x的值叫做这个不等式的解，一元二次不等式的所有解组成的集合

叫做这个一元二次不等式的解集.

3.三个“二次”之间的关系

（1）关于 x的一元二次不等式 ax2＋bx＋c>0(a≠0)或ax2＋bx＋c<0(a≠0)的解集；

若二次函数为 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则一元二次不等式 f(x)>0 或f(x)<0 的解集，就是分别使二次函数 f(x)

的函数值为正值或负值时自变量 x的取值的集合．

（2）三个“二次”之间的关系：

设f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，方程 ax2＋bx＋c＝0的判别式 Δ＝b2－4ac

判别式 Δ

＝b2－4ac

Δ>0 Δ＝0Δ<0

解不等式

f(x)>0

或f(x)<

0的步骤

求方程 f(x)＝0的解有两个不等的实数

解x1，x2

有两个相等的实数

解x1＝x2

没有实数解

画函数 y＝f(x)的示

意图

得不

等式

的解

集

f(x)>0 __{ x | x < x 1

或

x > x 2}__ {x|x≠－}R

f(x)<0 __{ x | x 1< x < x 2}__ __∅__ __∅__

3.不等式恒成立问题　

1．一元二次不等式恒成立问题

(1)ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足；

(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足；

(3)ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足；

(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)恒成立(或解集为 R)时，满足.

2．含参数的一元二次不等式恒成立．若能够分离参数成 k<f(x)或k>f(x)形式．则可以转化为函数值域求解．

设f(x)的最大值为 M，最小值为 m.

(1)k<f(x)恒成立⇔k<m，k≤f(x)恒成立⇔k≤m.

(2)k>f(x)恒成立⇔k>M，k≥f(x)恒成立⇔k≥M.

【考点梳理】

考点一：二次函数的解析式

【典例 1】（2019·黑龙江省哈尔滨三中高三其他（理））已知二次函数满足

且 .

（1）求的解析式；

（2）当时，不等式恒成立，求实数

的取值范围.

【规律方法】

根据已知条件确定二次函数解析式，一般用待定系数法，选择规律如下：

【变式探究】

1.已知二次函数

(

)满足

(2)＝－1，

(－1)＝－1，且

(

)的最大值是 8，试确定该二次函数的解析式．

2.（2019·陕西省咸阳市实验中学高一月考）已知二次函数满足：任意的，有

成立，且最小值为，与轴交点坐标为

（1）求的解析式；

（2）是否存在实数，使的定义域和值域分别为和，如果存在，求出

；如果不存在，请说明理由.

考点二：二次函数图象的识别

【典例 2】（2020·山东省微山县第一中学高一月考）对数函数且与二次函数

在同一坐标系内的图像不可能是（）

A．B．

( )f x

xR

1 1

2 2

f x f x

   

  

   

   

( )f x

(0,1)

( )f x

(, )m n m n

( )f x

[ , ]m n

3 3

2 2

m n

 

 

 

,m n



log 0

y x a 



1a

 

1y a x x  

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