专题2.2.3 向量数乘运算及其几何意义-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修4）

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第二章平面向量

2.2.3 向量数乘运算及其几何意义

1．向量的数乘

一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做___________，记作___________．它

的长度和方向规定如下：

（1）；

（2）时，的方向与的方向相同；当时，与的方向相反；时，．

温馨提示：（1）对于：①从代数角度看，是实数，是向量，它们的积仍然是向量．的条

件是或．②从几何的角度看，对于长度来说，当时，意味着表示向量的有向线段在

原方向或相反方向上伸长了倍；当时，意味着表示向量的有向线段在原方

向或反方向上缩短了倍．

（2）实数与向量可以求积，但不能进行加减运算，如，都无意义．

2．向量数乘的运算律

实数与向量的积满足下面的运算律：设、是实数，、是向量，则：

① 结合律： ___________；

② 第一分配律： ___________；

③ 第二分配律： ___________．

3．向量共线定理

（1）内容：

向量与非零向量共线，则有且只有一个实数，使___________．

（2）向量共线定理的注意问题：

① 定理的运用过程中要特别注意．

特别地，若，实数仍存在，但不唯一．

② 定理的实质是向量相等，应从大小和方向两个方面理解，借助于实数沟通了两个向量与的关系．

③ 定理为解决三点共线和两直线平行问题提供了一种方法．要证三点共线或两直线平行，任取两点确

定两个向量，看能否找到唯一的实数使向量相等即可．

1．向量的数乘

2．① ；② ；③ ．

3．

帮—重点

1．掌握向量数乘的定义．

2．了解向量数乘的运算律．

3．理解向量数乘的几何意义．

帮—难点掌握向量共线定理．

帮—易错

能熟练地进行实数与向量的积的运算，利用向量数乘的几何意义判断

两向量共线，能在深刻理解向量数乘运算的基础上综合运用．

1．“姐妹式”巧解向量问题

我们经常会遇到这样一些基本图形：两条相交直线及两条直线外的点（作为多条向量的起点）（如下

例1中的图）．解与此相关的向量分解、计算、证明等问题的核心往往是抓住交点分其所在线段（直

线）被从同一起点出发的向量所截得两线段的比．两次应用上述结论得到一对“姐妹式”，“殊途同

归”后利用共线向量定理得到一个方程组，最后或解方程组或设而不求整体消元，则问题可迎刃而解．

如图，在△AOB 的边，上分别有，，已知，，连

接，，设它们交点为，若，，试用，表示．

【答案】

【解析】不妨设，，

则，且，

故，解得，所以．

【名师点睛】“姐妹式”在处理两直线相交且与这两条直线外点有关的向量分解、计算、证明等问题

时有着广泛的应用．

2．用向量证明三线共点与三点共线问题

实数与向量的积的定义我们可以看作是数与数的积的推广，学习实数与向量的积及运算律时，应联想

数与数的积的定义及运算律，加深理解，并注意到实数与向量的积仍是一个向量，化简向量代数式时

可类比多项式的合并同类项．

1.设P是△ABC 所在平面内的一点，，则（）

A．P、A、C三点共线 B．P、A、B三点共线

C．P、B、C三点共线 D．以上均不正确

例 1

例 2

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