专题2.2 透过二模看高考（平面解析几何）解析版

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专题 2.2 透过二模看高考—平面解析几何
上海最新二模
1．（2021 崇明二模）（16 分）双曲线
C
：
x
2﹣ ＝1（
b
＞0）的左顶点为
A
，右焦点为
F
，点
B
是双曲线
C
上一点．
（1）当
b
＝2 时，求双曲线两条渐近线的夹角；
（2）若直线
BF
的倾斜角为 ，与双曲线
C
的另一交点为
D
，且|
BD
|＝8，求
b
的值；
（3）若 ＝0，且| |＝| |，点
E
是双曲线
C
上位于第一象限的动点，求证：∠
EFA
＝2∠
EAF
．
解：（1）由
b
＝2，可得双曲线的方程为
x
2﹣ ＝1，渐近线方程为
y
＝±2
x
，
则双曲线两条渐近线的夹角的正切值为| |＝ ，
即有夹角为 arctan ；
（2）直线
BF
的斜率为 tan ＝1，又
F
（ ，0），则直线
BF
的方程为
y
＝
x
﹣ ，
设
B
（
x
1，
y
1），
D
（
x
2，
y
2），
由 可得（1﹣ ）
y
2+2
y
+
b
2＝0，
所以
y
1+
y
2＝﹣ ，
y
1
y
2＝ ，
所以|
BD
|＝ |
y
1﹣
y
2|＝ • ＝8，
化为 1﹣ ＝ ，解得
b
＝ ；
（3）证明：令
x
＝
c
＝ ，则
c
2﹣ ＝1，解得
y
＝±
b
＝±
b
2，
由
BF
⊥
AF
时，|
BF
|＝
b
2，而|
AF
|＝1+ ，所以
b
2＝1+ ，
模拟预测
1
解得
b
＝ ，即双曲线的方程为
x
2﹣ ＝1，
A
（﹣1，0），
F
（2，0），
设
E
（
m
，
n
），可得
n
2＝3（
m
2﹣1），
tan∠
EFA
＝ ，tan∠
EAF
＝ ，
所以 tan2∠
EAF
＝ ＝ ＝ ＝ ＝tan∠
EFA
，
因为
E
为第一象限的点，可得∠
EFA
＝2∠
EAF
．
2、（2021 奉贤二模）曲线 与曲线 在第一象限的交点为 ．曲
线 是 （ ）和 （ ）组成的封闭图形．曲线 与
x
轴的
左交点为 、右交点为 ．
（1）、设曲线 与曲线 具有相同的一个焦点 ，求线段 的
方程；
（2）、在（1）的条件下，曲线 上存在多少个点 ，使得 ，请说明理由．
（3）、设过原点 的直线 与以
(
t>0
)
为圆心的圆相切，其中圆的半径小于 1，切点为
．直线 与曲线 在第一象限的两个交点为 、 ．当 对任意直线 恒成
立，求 的值．
2
解、（1）线段 的方程
， ，线段 的方程
（2）方法一： ，
假设点 在曲线 上
所以点 不可能在曲线 上
所以点 只可能在曲线 上，根据 得
可以得到
当 F 左焦点， ,同样这样的 使得 不存在
所以这样的点 一共 2 个
（3）设直线方程 ，圆方程为
直线与圆相切，所以
⃗
OT2=OT2=OD 2−DT2=t2
k2+1
，
3
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