专题2.2 解三角形-结构不良型（解析版）

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专题 2.2 解三角形-结构不良型
对于此类试题，解题中要注意条件与结论之间的联系，确定选用的公式与顺序，用正弦定
理进行边角转换是一种重要技巧，它的目的是让边角分离，便于求解．
1．已知 a，b，c分别是 三个内角 A，B，C的对边，且 ．
（1）求 A；
（2）在① 的周长为 ，② 的面积为 ，③ ，这三个
条件中任选一个，补充在下面问题中，若问题中的三角形存在，求 B的值；若问题中的三
角形不存在，说明理由．
问题：已知 ，______?
注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．
【试题来源】湖南省长沙市第一中学 2021 届高三下学期英才大联考
【答案】（1） ；（2）选①， ；选②， ；选③，三角形不存在，
【分析】（1）首先利用正弦定理可得 ，再根据二倍角的正弦、余弦
公式即可求解．（2）根据题意选择条件，分别利用正弦定理、三角形的面积公式以及余弦
定理进行求解即可．
【解析】（1）在 中， ，
由正弦定理可得 ，
，则 ，
1
即 ，由 ，
则 ，所以 ，
所以 ，解得 ．
（2）选① 的周长为 ， 由 ，则 ，
又 ，
，所以 ，
，解得 ，（1）
又 ，（2）
由（1）（2）可得 ， ，
，解得 ，
由因为 ，所以 ．
选②， 的面积为 ， ， ，
2
则 ，解得 ，
所以 为等边三角形，所以 ．
选③， ， ， ，
由余弦定理可得 ，（3）
又 ，（iv）
由（3）（iv）联立，无解，三角形不存在．
2．已知 的内角 的对边分别为 ，且 ．
（1）请从下面两个条件中选择一个作为已知条件，求 的值；
① ， ；② ， ．
注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．
（2）若 ， ，求 的面积．
【试题来源】黑龙江省大庆市 2021 届高三第一次教学质量检测（文）
【答案】（1） ；（2）
【分析】（1）选择条件①，由余弦定理求出 ，再由正弦定理即可求出；选择条件②，
由余弦定理求出 ，再由正弦定理即可求出；（2）由余弦定理结合已知条件可求出
，再由面积公式即可求出．
【解析】（1）选择条件①
3
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