专题2.2 函数与导数--《2021届高三数学（浙江）三轮复习专题突破》第二篇 清查易错防遗漏 【原卷版】

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专题 2.2 函数与导数
1. 函数概念不清致误
函数的定义域、值域、对应法则是函数的三要素注意
( ( ))f g x
与 f(x)是两个不同的函数，它们有不同
的法则和定义域.求函数定义域，首先应弄清函数的特征或解析式，可避免出错.
例 1.（2020·全国高三专题练习）已知： ，求 .
点评：本题考查分段函数求函数值，要注意自变量的范围，不同的范围要选取不同的表达式计算．同时注
意理解 的意义.
2.忽视函数的定义域致误
函数的定义域是函数的用三要素之一，是研究函数图像与性质的重要依据之一，在研究函数的奇偶性、
单调性、极值、图像时，一定要定义域先行，可以避免忽视定义域致错.
例 2.（2020·全国高一课时练习）已知奇函数 f(x)是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式 f(x－3)+f(x2
－3)<0,求x的取值范围.
点评：本题考查函数的奇偶性与单调性，解题时要注意函数的定义域，否则易出错．研究函数问题，务必
遵循“定义域优先”的原则，在变量的允许范围内进行.
3. 有关公式混淆或忽视公式中的量的限制致误
有些数学公式的形式、公式中量的限制应记清，如积商幂的对数运算法则、等比数列求和公式中对公
比的要求等.
例 3. （2021·山东高三专题练习）已知 55<84，134<85．设 a=log53，b=log85，c=log138，则（ ）
A．a<b<cB．b<a<cC．b<c<aD．c<a<b
点评：本题考查对数式的大小比较，涉及基本不等式、对数式与指数式的互化以及指数函数单调性的应用.
解题过程中一旦对数变换出错，就会前功尽弃.
4.构造函数、数形结合的意识不强
构造函数法、数形结合法等，是众多数学高考题求解的良方，在解题过程中要注意摸索规律，增强应
用意识.
例 4.（2021·山东高三专题练习）若 ，则（ ）
1
A．B．C．D．
点评：本题主要考查函数与方程的综合应用，涉及到构造函数，利用函数的单调性比较大小，
例 5.（2021·山西晋城市·高二期末（文））已知函数 若函数
恰有 4个零点，则 的取值范围是（ ）
A．B．
C．D．
点评：本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，
5.阅读理解能力弱、应用意识不强
近几年，高考有意识增加应用题的考查，且题目的背景较新、题干较长.因此，复习中应强化这方面
的训练，熟化常见模型，增强应用意识，提升阅读理解能力.
例 6. （2020·江阴市第二中学高一月考）基本再生数 R0与世代间隔 T是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本
再生数指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺炎疫情初始阶
段，可以用指数模型： 描述累计感染病例数 I(t)随时间 t(单位:天)的变化规律，指数增长率r与
R0，T近似满足 R0 =1+rT.有学者基于已有数据估计出 R0=3.28，T=6.据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计
感染病例数增加 1倍需要的时间约为(ln2≈0.69) （ ）
A．1.2 天B．1.8 天
C．2.5 天D．3.5 天
点评：考查了指数型函数模型的应用、指数式与对数式的互化及对数运算.
6. 将曲线在某点的切线与过某点的切线搞混淆致错
在解曲线的切线问题时，一定要注意区分“过点 A（x0,y0）的切线方程”与“在点 A 处的切线方程”
的不同.虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个
点不一定是切点.
例7.（2020·全国高三专题练习）已知曲线 ，过点 作曲线 的切线，求切线
方程．
点评：本小题主要考查利用函数的导数求切线方程,考查利用函数的导数求含有参数的函数的最值问题.对
2
于利用函数的导数求切线方程,首先要判断给定点是否在函数的图象上,如果在函数的图象上,则利用导数
求得斜率,结合切点可以求得切线方程,若点不在函数图象上,则需要先设出切点坐标,利用导数写出切线方
程,代入给定点的坐标来求得切点的坐标,从而求得切线方程.
7.极值的概念不清致误
“函数 y=f(x)在 x=x0处的导数值为 0”是“函数 y=f(x)在点 x=x0处取极值”的必要条件，而非充分条
件，但解题中却把“可导函数 f(x)在 x=x0处取极值”的必要条件误作充要条件.
对于可导函数 f(x):x0是极值点的充要条件是 x0点两侧导数异号，即若 f′(x)在方程 f′(x)=0 的根x0的左
右的符号：“左正右负”f(x)在 x0处取极大值；“左负右正”f(x)在 x0处取极小值，而不仅是 f′
(x0)=0.f′(x0)=0 是 x0为极值点的必要而不充分条件.对于给出函数极大（小）值的条件，一定要既考虑f
′(x0)=0，又考虑检验“左正右负”（“左负右正”）的转化，否则易产生增根.
例8.（2020·湖南长郡中学高三月考（文））已知函数
 
1f x x 
，
 
1
x
g x ax e 
．
（Ⅰ）记
   
x
f x
h x x e
 
，试判断函数
 
h x
的极值点的情况；
（Ⅱ）若
   
af x g x
有且仅有两个整数解，求实数
的取值范围．
点评：1.本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解极值点个数、根据整数解个数求解参数
范围的问题；与整数解有关的范围问题的求解关键是能够确定自变量为整数时函数的值域，进而根据整数
解个数确定临界整数所对应的函数值的范围，从而得到不等关系.
2.求函数
 
f x
在某闭区间
[ ]a b，
上的最值，首先需求函数
 
f x
在开区间
( )a b，
内的极值，然后，将
 
f x
的各个极值与
 
f x
在闭区间上的端点的函数值
 
f a
、
 
f b
比较，才能得出函数
 
f x
在
[ ]a b，
上的最值．
8.导数与单调性的关系理解不准致误
已知在某个区间上的单调性求参数问题，先求导函数，将其转化为导函数在这个区间上大于（增函
数）（小于（减函数））0 恒成立问题，通过函数方法或参变分离求出参数范围，注意要验证参数取等号
时，函数是否满足题中条件，若满足把取等号的情况加上，否则不加.
例9.（2020·浙江高三专题练习）已知 ，设函数 ，若关于的不等式
在 上恒成立，则 的取值范围为 　　
A． ， B． ， C． ， D． ，
3
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