专题2.2 基本不等式及其应用（精讲）-2022年新高考数学一轮复习学与练（原卷版）

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专题 2.2 基本不等式及其应用
【考纲要求】
1. 掌握基本不等式 (a，b＞0)及其应用.
2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.
3.高考命题中除单独考查外，较多的是在考查其它主干知识的同时，考查基本不等式的应用.
【知识清单】
1．重要不等式
当a、b是任意实数时，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a=b 时，等号成立．
2．基本不等式
当a>0，b>0 时有 ，当且仅当 a=b 时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知 x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y时，积 xy 取得最大值．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当 x＝y时，和 x＋y取得最小值．
4.常用推论
（1） （ ）
（2） （ ， ）；
（3）
【考点梳理】
考点一 ：利用基本不等式证明不等式
【典例 1】（2020·海南省高考真题）已知
a
>0，
b
>0，且
a
+
b
=1，则（ ）
A． B．
ab
ba
2
ab
ba
2
2 2
ab 2
a b
, Ra b
2
ab ( )
2
a b
0a
0b
2 2
2
( )
2 2
a b a b 
2 2
2( 0, 0)
1 1 2 2
a b a b
ab a b
a b
 
 
1
C． D．
【典例 2】（2020·全国高考真题（文））设
a
，
b
，
c R
，
a
+
b
+
c
=0，
abc
=1．
（1）证明：
ab
+
bc
+
ca
<0；
（2）用 max{
a
，
b
，
c
}表示
a
，
b
，
c
中的最大值，证明：max{
a
，
b
，
c
}≥ ．
【方法技巧】
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满
足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加
上一个数，“1”的代换法等．
2.证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，
则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证．
【变式探究】
1. 已知 、 、 都是正数，求证：
2.求证:
考点二：利用基本不等式求最值
【典例 3】（2020·天津高考真题）已知 ，且 ，则 的最小值为_____
____．
【典例 4】（2019 年高考天津卷文）设 ，则 的最小值为_______
___.
【规律方法】
利用均值不等式求最值遵循的原则：“一正二定三等”
（1）正：使用均值不等式所涉及的项必须为正数，如果有负数则考虑变形或使用其它方法
（2）定：使用均值不等式求最值时，变形后的一侧不能还含有核心变量.
（3）等：若能利用均值不等式求得最值，则要保证等号成立，要注意以下两点：
① 若求最值的过程中多次使用均值不等式，则均值不等式等号成立的条件必须能够同时成立（彼此不冲
突）
a b
c
( )( )( ) 8a b b c c a abc  
47( 3)
3a a
a 
0, 0, 2 4x y x y  
( 1)(2 1)x y
xy
 
2
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