专题2.2 基本不等式及其应用（精讲）-2022年新高考数学一轮复习学与练（解析版）

3.0 envi 2025-02-12 14 4 204.5KB 12 页 3知币
侵权投诉
专题 2.2 基本不等式及其应用
【考纲要求】
1. 掌握基本不等式 (a，b＞0)及其应用.
2．培养学生的数学抽象、数学运算、数学建模、逻辑推理等核心数学素养.高考命题中除单独考查外，较
多的是在考查其它主干知识的同时，考查基本不等式的应用.
【知识清单】
1．重要不等式
当a、b是任意实数时，有 a2＋b2≥2ab，当且仅当 a=b 时，等号成立．
2．基本不等式
当a>0，b>0 时有 ，当且仅当 a=b 时，等号成立．
3．基本不等式与最值
已知 x、y都是正数．
(1)若x＋y＝s(和为定值)，则当 x＝y时，积 xy 取得最大值．
(2)若xy＝p(积为定值)，则当 x＝y时，和 x＋y取得最小值．
4.常用推论
（1） （ ）
（2） （ ， ）；
（3）
【考点梳理】
考点一 ：利用基本不等式证明不等式
【典例 1】（2020·海南省高考真题）已知
a
>0，
b
>0，且
a
+
b
=1，则（ ）
A． B．
ab
ba
2
ab
ba
2
2 2
ab 2
a b
, Ra b
2
ab ( )
2
a b
0a
0b
2 2
2
( )
2 2
a b a b 
2 2
2( 0, 0)
1 1 2 2
a b a b
ab a b
a b
 
 
1
C． D．
【答案】ABD
【解析】
对于 A， ，
当且仅当 时，等号成立，故 A 正确；
对于 B， ，所以 ，故 B 正确；
对于 C， ，
当且仅当 时，等号成立，故 C 不正确；
对于 D，因为 ，
所以 ，当且仅当 时，等号成立，故 D 正确；
故选：ABD
【典例 2】（2020·全国高考真题（文））设
a
，
b
，
c R
，
a
+
b
+
c
=0，
abc
=1．
（1）证明：
ab
+
bc
+
ca
<0；
（2）用 max{
a
，
b
，
c
}表示
a
，
b
，
c
中的最大值，证明：max{
a
，
b
，
c
}≥ ．
【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析.
【解析】
（1） ，
.
2
均不为 ，则 ， ；
（2）不妨设 ，
由 可知， ，
， .
当且仅当 时，取等号，
，即 .
【方法技巧】
1.利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，要从整体上把握运用基本不等式，对不满
足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换，常见的变形技巧有：拆项，并项，也可乘上一个数或加
上一个数，“1”的代换法等．
2.证明不等式时，要注意观察分析其结构特征选取相应的证明方法．若不等式中字母具有轮换对称关系，
则常常连用几个形式相同字母不同的不等式迭加获证．
【变式探究】
1. 已知 、 、 都是正数，求证：
【答案】见解析
【解析】∵ 、 、 都是正数
∴ （当且仅当 时，取等号）
（当且仅当 时，取等号）
（当且仅当 时，取等号）
∴ （当且仅当 时，取等号）
即.
2.求证:
a b
c
( )( )( ) 8a b b c c a abc  
a b
c
2 0a b ab 
a b
2 0b c bc 
b c
2 0c a ca 
c a
( )( )( ) 2 2 2 8a b b c c a ab bc ca abc  
abc 
( )( )( ) 8a b b c c a abc  
47( 3)
3a a
a 
3
专题2.2 基本不等式及其应用（精讲）-2022年新高考数学一轮复习学与练（解析版）.docx

共12页,预览4页

还剩页未读， 继续阅读

相关推荐

更多
立即下载
作者：envi 分类：高中 价格：3知币 属性：12 页 大小：204.5KB 格式：DOCX 时间：2025-02-12

开通VIP享超值会员特权

  • 多端同步记录
  • 高速下载文档
  • 免费文档工具
  • 分享文档赚钱
  • 每日登录抽奖
  • 优质衍生服务

作者详情

相关内容

更多

推荐作者

热门标签

大联考 高考地理 英语真题 听力 语法填空 石家庄 数学竞赛 读后续写 英语阅读 深圳中学
/ 12
评分 收藏
分享
立即下载
客服
关注