专题2.1 透过二模看高考（数列）原卷版

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专题 2.1 透过二模看高考—数列

上海最新二模

1．（2021 崇明区高考数学二模）（18 分）对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的差分数列，

其中△an＝an+1﹣an，n∈N*，如果对任意的 n∈N*，都有△an+1＞△an，则称数列{an}为差分增数列．

（1）已知数列 1，2，4，x，16，24 为差分增数列，求实数 x 的取值范围；

（2）已知数列{an}为差分增数列，且 a1＝a2＝1，an∈N*．若 ak＝2021，求非零自然数 k 的最大

值；

（3）已知项数为 2k 的数列{log3an}（n＝1，2，3，…，2k）是差分增数列，且所有项的和等于 k，

证明：akak+1＜3．

2、（2021 奉贤区二模）设数列满足，，，设，

．

模拟预测

（1）、设，，若数列的前四项、、、满足，求；

（2）、已知，，，当，，时，判断数列是否能

成等差数列，请说明理由；

（3）、设，，，求证：对一切的，，均有．

3．（2021 嘉定区二模）（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满

分 8 分）

已知数列

{

}

满足：

a1=1

，

|an+1−an

|= pn

，

n∈N¿

，

为数列

{

}

的前

项和．

（1）若

{

}

是递增数列，且

3a1,4a2,5a3

成等差数列，求

的值；

（2）已知

p=1

，且

{

a2n−1

}

是递增数列，

{

a2n

}

是递减数列，求数列

{

}

的通项公式；

（3）已知

p=1

，对于给定

的

正整数

，试探究是否存在一个满足条件的数列

{

}

，使得

Sn=n

．若存在，写出一个满足条件的数列

{

}

；若不存在，请说明理由．

4. （2021 普陀区二模）（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满

分 8 分）

记实数

、

中的较大者为

max {a , b}

，例如

max {1,2}=2

，

max {1,1}=1

.对于无穷数列

{an}

，记

ck=max {a2k−1, a2k}

（

k∈N¿

），若对于任意的

k∈N¿

，均有

ck+1<ck

，则称数列

{an}

为“趋势递减数列”.

（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列

{an}

是否为“趋势递减数列”，并说明理由.

①

an=

(

−1

)

， ②

an=sin nπ

；

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