专题2.1 透过二模看高考（数列）解析版

3.0 envi 2025-02-12 15 4 1.88MB 31 页 3知币

侵权投诉

专题 2.1 透过二模看高考—数列

上海最新二模

1．（2021 崇明区高考数学二模）（18 分）对于数列{an}，定义{△an}为数列{an}的差分数列，

其中△an＝an+1﹣an，n∈N*，如果对任意的 n∈N*，都有△an+1＞△an，则称数列{an}为差分增数列．

（1）已知数列 1，2，4，x，16，24 为差分增数列，求实数 x 的取值范围；

（2）已知数列{an}为差分增数列，且 a1＝a2＝1，an∈N*．若 ak＝2021，求非零自然数 k 的最大

值；

（3）已知项数为 2k 的数列{log3an}（n＝1，2，3，…，2k）是差分增数列，且所有项的和等于 k，

证明：akak+1＜3．

【解答】（1）解：数列 1，2，4，x，16，24 的差分数列为 1，2，x﹣4，16﹣x，8，

由题意可得，解得 8＜x＜10，

故实数 x 的取值范围是（8，10）．

（2）解：由题意，△a1＝0，△an∈N，

因为数列{an}为差分增数列，所以对任意的 n∈N*，都有△an+1＞△an，

所以△a2＞△a1＝0，△a2≥1，同理，△a3≥2，…，△ak≥k﹣1，k∈N*，

所以当 k≥2 时，ak＝a1+△a1+△a2+…+△ak﹣1≥1+1+2+…+（k﹣2）＝1+ ，

所以 2021≥1+ ，

解得 k≤65，

所以非零自然数 k 的最大值为 65．

（3）证明：假设 akak+1≥3，

由题意知 an＞0（n＝1，2，3，…，2k），

因为项数为 2k 的数列{log3an}所有项的和等于 k，

所以 log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a2k＝k，

即 log3a1a2a3…a2k＝k，

所以 a1a2a3…a2k＝3k，

因为数列{log3an}（n＝1，2，3，…，2k）是差分增数列，

所以 log3an+1﹣log3an＜log3an+2﹣log3an+1，

所以＜，因此＜＜＜…＜，

模拟预测

所以对任意的 m≤k﹣1，m∈N*，都有＜，即 am+1a2k﹣m＜ama2k+1﹣m，

所以 a1a2k＞a2a2k﹣1＞a3a2k﹣2＞…＞akak+1≥3，

所以 a1a2a3…a2k＞3k与 a1a2a3…a2k＝3k矛盾，

故假设不成立，所以 akak+1＜3．

2、（2021 奉贤区二模）设数列满足，，，设，

．

（1）、设，，若数列的前四项、、、满足，求；

（2）、已知，，，当，，时，判断数列是否能

成等差数列，请说明理由；

（3）、设，，，求证：对一切的，，均有．

解析：（1）当时，，

根据条件得

当时，，

a4−a3=−πsin

(

(5+3

√

3)π

)

所以

a4>a3

，

根据条件得与不符合，舍去

所以

（2）假设数列成等差数列，设公差为

因为，所以，则是单调递增的正数列

因此，

所以

得到

an+1=an+2mπ , m≥0,m ∈Z

（舍去）或者

从而

推得与矛盾

所以数列不可能成等差数列．

（3）设，，

得到

假设数列中有不小于的项，设是第一个不小于的项，( )，

即．

根据运算性质可以得，即数列中的任何相邻两项的差都不大于 1，因

此，即，

而在这个区间中，从而，

得到产生矛盾所以对一切的，均有．

3．（2021 嘉定区二模）（本题满分 18 分，第 1 小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满

分 8 分）

已知数列

{

}

满足：

a1=1

，

|an+1−an

|= pn

，

n∈N¿

，

为数列

{

}

的前

项和．

（1）若

{

}

是递增数列，且

3a1,4a2,5a3

成等差数列，求

的值；

（2）已知

p=1

，且

{

a2n−1

}

是递增数列，

{

a2n

}

是递减数列，求数列

{

}

的通项公式；

文档加载中……请稍候！
如果长时间未打开，您也可以点击刷新试试。

下载文档到电脑，查找使用更方便

3 知币 4人已下载

立即下载

专题2.1 透过二模看高考（数列）解析版.docx

共31页,预览5页

还剩页未读，继续阅读

专题2.1 透过二模看高考（数列）解析版

相关推荐

开通VIP享超值会员特权

作者详情

相关内容

推荐作者

热门标签

举报选择: