专题2.1 平面向量的实际背景及基本概念-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修4）

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第二章平面向量

2.1 平面向量的实际背景及基本概念

1．向量的概念

既有大小又有__________的量叫做向量．

只有大小没有方向的量称为数量，如长度、质量、面积、体积等；而向量是不仅有大小而且有方向的

量，如位移、速度、加速度、力等．

数量可进行代数运算，向量不能比较大小．

大小是向量的代数特征，方向是几何特征，即向量具有代数与几何的双重特征．

温馨提示：

（1）向量的模：向量的大小，也就是向量的长度．记作__________．

（2）零向量：长度为 0的向量．记作__________．的方向是__________．

（3）单位向量：长度等于 1个单位的向量，叫做__________．

2．向量的表示法

（1）几何表示：用有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的__________，箭头所指的方向表示向

量的__________．

（2）字母表示：用加粗的单个小写字母表示．要注意手写体与印刷体的不同．

3．相等向量和共线向量

（1）相等向量：长度相等且方向相同的向量叫做__________．若向量、相等，则记作．

（2）共线向量：方向__________的__________向量叫做平行向量，也叫__________．向量、平行，

记作．规定：零向量与__________平行，即对任一向量，都有．

4．平面向量和空间向量

向量是既有大小又有方向的量，向量的引入实现了几何问题代数化．使得许多复杂问题得以迎刃而解，

其实高中阶段，我们学习的向量主要有平面向量与空间向量，它们之间有着许多类似之处，现在我们已

经学习了平面向量的有关知识，我们可以类比空间向量的有关知识．

类比点平面向量空间向量

定义在平面中，既有大小又有方向的量在空间中，具有大小和方向的量

几何表示法用有向线段表示用有向线段表示

字母表示法用小写字母表示或者用表示向量的有向线段的起点和终点字母来表示

相等向量长度相等并且方向相同的平面向量

长度相等并且方向相同的空间向

量

共线向量方向相同或相反的非零平面向量方向相同或相反的非零空间向量

空间向量往往是解立体几何的好工具，利用向量的加、减、乘可以表示很多几何意义，尤其是建立了空

间坐标系之后，可以用向量求角度或证垂直等，而平面向量有时能单独出题，这相比较于空间向量，则

很少单独考査．

1．方向（1）（2），任意的（3）单位向量

2．（1）大小方向

3．（1）相等向量（2）相同或相反非零共线向量任一向量

帮—重点

1．掌握向量的模，零向量、单位向量、平行向量、相等向量、共线向量等概

念．

2．会区分平行向量、相等向量和共线向量．

帮—难点了解向量的实际背景，理解平面向量的概念和向量的几何表示．

帮—易错会区分平行向量、相等向量和共线向量．

1．向量的有关概念

（1）向量的模

① 用有向线段表示向量时，向量的大小就是对应有向线段的长度，也叫做向量的模，记作

．

② 的取值范围为[0，+）．

③ 向量由模、方向来确定，由于方向不能比较大小，因此向量不能比较大小，故故不能用“ >”“<”连

接，但向量的模是数量，可以比较大．

（2）零向量

零向量是从长度这个角度进行定义的，不涉及方向．因此，零向量的方向不确定．

（3）单位向量

模长为 1的向量，叫单位向量，单位向量 a仅具备|a|=1，方向由具体的向量确定．

在下列结论中，正确的为（）

A．两个有共同起点的单位向量，其终点必相同

B．向量与向量的长度相等

C．向量就是有向线段

D．零向量是没有方向的

【答案】B

【解析】A．单位向量的方向任意，所以当起点相同时，终点在以起点为圆心的单位圆上，终点不一

定相同，所以该选项不正确；

B．向量与向量只是方向相反，但长度相等，所以该选项正确；

C．向量是既有大小，又有方向的向量，可以用有向线段表示，但不能说向量就是有向线段，所以该

选项不正确；

D．规定零向量的方向任意，而不是没有方向，所以该选项不正确.

故选 B．

【名师点睛】本题考查了向量的基本概念，属于基础题型.

2．向量的表示法

（1）几何表示：向量一般用带箭头的有向线段表示，如图中的向量．

例 1

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