专题2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系-2020-2021学年高一数学同步课堂帮帮帮（人教版必修2）

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第二章点、直线、平面之间

的位置关系

2.1 空间点、直线、平面之间的位置关系

一、平面

1．平面的概念

生活中的一些物体通常呈平面形，课桌面、黑板面、海面都给我们以平面的形象．

几何里所说的“平面”（plane）就是从这样的一些物体中抽象出来的．但是，几何里的平面是_______

________的，一个平面可以将空间分成_______________部分．

2．平面的画法

在立体几何中，我们通常用_______________来表示平面．

（1）当平面水平放置时，如图（1），平行四边形的锐角通常画成_______________，且横边长等于其

邻边长的 _______________倍；

当平面竖直放置时，如图（2），平行四边形的一组对边通常画成铅垂线．

（2）如果一个平面被另一个平面遮挡住，为了增强它的立体感，我们常把被遮挡部分用虚线画出来，

也可以不画．如图（1）表示平面在平面的上面，图（2）表示平面在平面的前面．

3．平面的表示

为了表示平面，我们常把希腊字母 α，β，γ等写在代表平面的平行四边形的一个角上，如平面 α，平面

β；也可以用代表平面的平行四边形的四个顶点表示，还可以用代表平面的平行四边形的_____________

__的大写英文字母表示．如图中的平面可以表示为：平面 α、平面 ABCD、平面 AC 或平面 BD．

4．点、直线、平面之间位置关系的符号表示

点、直线、平面的位置关系通常借助_______________中的符号语言来表示，_______________为元素，

直线、平面都是点构成的_______________．集合中很多符号的规定都源于将图形视为点集．点与直线

（平面）之间的位置关系用符号“ ”，“ ”表示，直线与平面之间的位置关系用符号“ ”，“

”表示等．点、直线、平面之间位置关系的符号表示如下：

点P在直线 a上，记作 P_______________a；

点Q不在直线 a上，记作 Q a；

点A在平面 α内，记作 A α；

点B不在平面 α内，记作 B_______________α；

直线 a在平面 α内，记作 a_______________α；

直线 l不在平面 α内，记作 l α；

直线 a与b相交于点 A，记作 a∩b=A；

平面 α，β相交于直线 l，记作 α∩β=l．

二、平面的基本性质

1．三个公理

（1）公理 1：如果一条直线上的_______________在一个平面内，那么这条直线在此平面内．

符号表示：A l，B l，且 A α，B α⇒l⊂α．如图所示：

作用：①判断直线是否在平面内，点是否在平面内；②用直线检验平面．

（2）公理 2：过_______________的三点，有且只有一个平面．

符号表示：A，B，C三点不共线⇒有且只有一个平面 α，使 A α，B α，C α．如图所示：

作用：①确定一个平面；②判断两个平面重合；③证明点、线共面．

（3）公理 3：如果两个不重合的平面有_______________公共点，那么它们有且只有一条过该点的___

____________．

符号表示：P α，且 P β⇒α∩β＝l，且 P l．如图所示：

作用：①判断两个平面相交；②证明点共线；③证明线共点．

对三个公理的理解

（1）对于公理 1，我们可以知道：一是整条直线在平面内；二是直线上的所有点在平面内．

（2）“不在一条直线上”和“三点”是公理 2的重点字眼，如果没有前者，那么只能说“有一个平

面”，但不唯一；如果将“三点”改成“四点”，那么过四点不一定存在一个平面．由此可见，“不在

一条直线上的三点”是确定一个平面的条件．

（3）公理 3反映了平面与平面的一种位置关系——相交，且交线唯一．

2．公理 2的三个推论

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